Me topé con un ejemplo furtivo mientras leía sobre la Teorema fundamental del cálculo aquí $$\frac d{dx}\int_1^\sqrt xt^tdt$$ y me hace cuestionar toda mi comprensión.
Sé que el FTC dice $$\frac d{dx}\int_a^x f(t)dt\,=\, f(x)$$ por lo que diría que $f(x)=\sqrt x^\sqrt x$ pero esto es incorrecto debería obtener $$f(x)=\frac 12 x^{\frac {\sqrt x}2-\frac 12}$$ que veo como $$f(x) = \frac 12 \left(\frac 1{\sqrt x}\right)x^{\frac {\sqrt x}2}$$ Estoy confundido, ¿por qué esto se parece al resultado que obtengo de $\frac d{dx}\sqrt x^\sqrt x$ y no $\sqrt x^\sqrt x$ ? Casi puedo llegar a $\frac 12 x^{\frac {\sqrt x}2-\frac 12}$ cuando tomo la derivada de $\sqrt x^{\sqrt x}$ , dejé que $u=\sqrt x$ tal que $$\frac d{dx}x^u\cdot\frac {du}{dx} = \left(\frac {\sqrt x}2 x^{\frac{\sqrt x}2-1}\right)\left(\frac 1{2\sqrt x}\right)$$ $$\frac d{dx} x^{\frac {\sqrt x}2} = \frac 14 x^{\frac {\sqrt x}2-1}$$ Quiero asegurarme de que capto esos conceptos antes de seguir adelante y no aplicar fórmulas a ciegas, por lo que me gustaría saber qué ocurre realmente. ¡Gracias de antemano por su ayuda, esto es muy apreciado!