$FTC$ problema $\frac d{dx}\int_1^\sqrt xt^tdt$

Question

Me topé con un ejemplo furtivo mientras leía sobre la Teorema fundamental del cálculo aquí $$\frac d{dx}\int_1^\sqrt xt^tdt$$ y me hace cuestionar toda mi comprensión.

Sé que el FTC dice $$\frac d{dx}\int_a^x f(t)dt\,=\, f(x)$$ por lo que diría que $f(x)=\sqrt x^\sqrt x$ pero esto es incorrecto debería obtener $$f(x)=\frac 12 x^{\frac {\sqrt x}2-\frac 12}$$ que veo como $$f(x) = \frac 12 \left(\frac 1{\sqrt x}\right)x^{\frac {\sqrt x}2}$$ Estoy confundido, ¿por qué esto se parece al resultado que obtengo de $\frac d{dx}\sqrt x^\sqrt x$ y no $\sqrt x^\sqrt x$ ? Casi puedo llegar a $\frac 12 x^{\frac {\sqrt x}2-\frac 12}$ cuando tomo la derivada de $\sqrt x^{\sqrt x}$ , dejé que $u=\sqrt x$ tal que $$\frac d{dx}x^u\cdot\frac {du}{dx} = \left(\frac {\sqrt x}2 x^{\frac{\sqrt x}2-1}\right)\left(\frac 1{2\sqrt x}\right)$$ $$\frac d{dx} x^{\frac {\sqrt x}2} = \frac 14 x^{\frac {\sqrt x}2-1}$$ Quiero asegurarme de que capto esos conceptos antes de seguir adelante y no aplicar fórmulas a ciegas, por lo que me gustaría saber qué ocurre realmente. ¡Gracias de antemano por su ayuda, esto es muy apreciado!

Answer 1

Este es el Teorema Fundamental del Cálculo, pero con una regla de la cadena añadida. Para ver esto, considere:

$$F(x)=\int_1^xt^tdt$$

Le interesa el derivado de $F(\sqrt x)$ Así que..:

$$\frac{d}{dx}F(\sqrt x) = F'(\sqrt x)*(\sqrt x)'$$

El primer término te da lo que tienes, y el segundo será el término que te falta

Answer 2

Dejemos que $F$ sea una primitiva de $f$ . Entonces tienes $$\int_a^{\sqrt{x}} f(t)dt=F(\sqrt{x})-F(a)$$ y $$F'(x)=f(x).$$ Así que tienes $$\frac{d}{dx}\int_{a}^{\sqrt{x}}t^tdt=\frac{d}{dx}(F(\sqrt{x})-F(a))=\frac{1}{2\sqrt{x}}F'(\sqrt{x})=\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x})^\sqrt{x}.$$ Donde la segunda desigualdad es la derivada de la función compuesta.

Answer 3

Aquí podemos hacer una sustitución. Escribamos $u=t^2$ para que $du=2tdt$ . Entonces $$\begin{equation} \int_1^\sqrt{x} t^tdt = \int_1^\sqrt{x}(t^2)^{(t-1)/2}tdt = \frac 12\int_1^x u^{(\sqrt{u}-1)/2}du. \end{equation}$$ La aplicación de la FToC a esta última integral debería dar el resultado deseado. Es importante entender que aquí hemos utilizado la regla de la cadena. Podemos ejecutar un argumento similar para cualquier derivada de la forma $$\begin{equation} \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)dt, \end{equation}$$ donde $g$ es una función unívoca.

Answer 4

Básicamente, cuando se tienen problemas como estos en los que el límite superior es una función, lo que se hace es sustituir la variable con la que se está integrando, en este caso $t$ con esa función, y luego tomar la derivada.

Así,

$$\frac d{dx}\int_1^\sqrt xt^tdt = \sqrt{x}^\sqrt{x}*\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}^\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$$

$$Yuck.$$

Answer 5

Podrías hacer la transformación $dx = 2\sqrt{x}d\sqrt{x}$ .

Y el resultado final es $$\begin{equation} \frac{d}{dx}\int_1^{\sqrt{x}}t^tdt = \frac{1}{2\sqrt{x}}\frac{d}{d\sqrt{x}}\int_1^{\sqrt{x}}t^tdt=\frac{\sqrt{x}^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}. \end{equation}$$