Construcción de la tangente a una curva en $\mathbb{R}^2$

Question

He estado estudiando Matemáticas Básicas para los cursos de Física.

Mientras enseñaba sobre las derivadas mi profe dijo que en realidad hay dos puntos por los que pasa la tangente en un punto (y esos puntos son casi coincidentes). Simbólicamente $x_0$ y $x_0+\mathrm dx$ . Evidentemente, esto parece absurdo porque una tangente, por definición, sólo toca a cualquier curva en un único punto. Pero además, esto plantea la discrepancia de que se necesitan al menos dos puntos para construir una recta.

Pensaba que si de alguna manera conocemos la curvatura de la curva sí que podríamos construir una tangente utilizando sólo un punto mediante la definición de curvatura, $\kappa=1/r$ y seguir como lo hacemos en el caso de un círculo.

Pero, ¿cómo medir realmente la curvatura de la curva utilizando sólo su derivada? Siéntase libre de presentar un modelo de construcción de una tangente de esta manera o cualquier otro que le parezca relevante y que encaje en los cursos de cálculo intermedios y avanzados.

Answer 1

Tu intuición es errónea. Conocer la curvatura no te ayuda a construir la tangente. Piensa que círculos de cualquier radio pueden ser tangentes a una recta dada.

Y el cálculo de la curvatura requiere tanto la primera como la segunda derivada.

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La intuición detrás de la construcción de dos puntos es que la cuerda por el punto objetivo y un punto extra tenderá a la tangente cuando los dos puntos se acerquen.

Answer 2

Consideremos el cociente diferencial $$f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$ Aquí $f'(x_0)$ es la pendiente de la línea tangente a $f$ en $x_0$ con $x_0$ dado.

Para este cociente, la recta tangente es $f(x)-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$ o mejor $f(x) = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$

Answer 3

Para una curva general, un enfoque sería establecer el centro de curvatura para un punto determinado de la curva y luego trazar una línea perpendicular a la normal trazada desde el centro de curvatura hasta el punto de la curva, algo que puede hacerse con una escuadra. Para una curva como un arco circular o incluso elíptico, esto es trivial. Sin embargo, para una curva arbitraria, este enfoque puede ser poco práctico.