Prueba alternativa para ${n\choose k}$ es un número entero

Question

He visto diferentes tipos de pruebas de inducción en este caso, pero intentando un enfoque alternativo he probado la inducción para demostrar que ${n\choose k}$ en el coeficiente binomial es un número entero, donde tanto n como k son enteros no negativos.

Caso base: Para k = 0, ${n\choose 0}$ = 1, y es un número entero.

Hipótesis inductiva: Para k= n-1, suponga ${n\choose n-1}$ es un número entero. (Ni siquiera es una suposición sino un hecho, de hecho).

Por último, la inducción: Para k = n, ${n\choose n}$ es un número entero porque es 1.

¿Es una prueba? ¿Es esto una cosa? ¿Qué es?

Answer 1

Te recomiendo que primero intentes inducir en $n$ en lugar de $k$ ya que cada $n$ sólo tiene un número finito de $k$ para comprobar. Para comprobar $k!|\frac{n!}{(n-k)!}=\prod_{j=0}^{k-1}(n-j)$ para $n\ge k$ , nota $n=k$ obtiene el producto como $\prod_{j=0}^{k-1}(k-j)=k!$ , mientras que $$\prod_{j=0}^{k-1}(m+1-j)-\prod_{j=0}^{k-1}(m-j)=\prod_{i=m-k+2}^{m+1}i-\prod_{i=m-k+1}^mi=k\prod_{i=m-k+2}^mi=k\frac{m!}{(m-k+1)!}.$$ El paso inductivo funciona si este es un múltiplo de $k!$ o, por el contrario, si $(k-1)!|\frac{m!}{(m-k+1)!}$ . Esto nos dice que podemos usar lo que se llama doble inducción :

• $k=0$ trabaja desde $0!=1|1=\frac{n!}{(n-0)!}$ ;
• Si $k=l$ funciona para todos $n$ , $k=l+1$ trabaja para $n=l+1$ por una lógica similar, mientras que los más grandes $n$ seguido por el paso de inducción anterior.

Answer 2

Veo una prueba de lo siguiente:

Desde el punto de vista de la libertad de acción, no hay ninguna restricción. $n$ Así, por ejemplo, los números complejos. Pruebe con $n = 1/2$ , que aparece en la expansión binomial para la raíz cuadrada, $\sqrt{1+x} = \sum_{k \geq 0} \binom{1/2}{k} x^k$ .

• $\binom{n}{0}$ es un número entero porque tú lo dices. Ni siquiera un " $\binom{n}{0} = 1$ " sin justificación. Como mínimo, deberías aplicar su definición para que el lector pueda inspeccionar esa expresión para validar tu afirmación: " $\binom{n}{0} = \frac{n!}{0!(n-0)!} = 1$ ".
• $\binom{n}{n-1}$ es un número entero porque tú lo dices, sin siquiera una pretensión de prueba. Tal vez " $\binom{n}{n-1} = \frac{n!}{1!(n-1)!} = n$ " sería más convincente. Esto también pone de manifiesto que hay que afirmar " $n$ es un número entero" antes de iniciar estos casos.
• $\binom{n}{n}$ es un número entero porque tú dices que lo es $1$ . Más convincente: " $\binom{n}{n} = \frac{n!}{n!0!} = 1$ ".

No hay nada aquí que muestre $\binom{3}{1}$ es un número entero.