Gráfico plano regular 3

Question

Dejemos que $G$ sea un grafo plano conectado 3 regular con una incrustación plana donde cada cara tiene grado 4 o 6 y cada vértice incide con exactamente una cara de grado 4. Determine el número de vértices, aristas y caras de grado 4 y 6.

Utilizando lemas de apretón de manos y la fórmula de Euler, he llegado a lo siguiente para $E$ bordes y $n$ vértices:

$2E=3n$

$2E=4F_4+6F_6$

$n-E+F_4+F_6=2$

Me falta una ecuación porque no estoy seguro de cómo utilizar la restricción en la que cada vértice es incidente con una cara de grado 4. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

Considere las aristas adyacentes a cualquier vértice $v\in V(G)$ . Sabemos que el vértice es incidente en una sola cara de grado 4, por lo que 2 de las tres aristas adyacentes a él forman parte de la longitud de una cara de grado 4. Por lo tanto, dos tercios de todas las aristas se encuentran en el borde de una cara de longitud 4, y tenemos:

$f_4=\frac{1}{4}*\frac{2}{3} *e=\frac{1}{6}e$

Usando este hecho y el resto de tus ecuaciones, deberías ser capaz de obtener todos los valores que necesitas.

Answer 2

Tal vez sea sólo un comentario, pero es demasiado largo:

Puede calcular el $F_4=6$ . Utilice $$F = F_4+F_6$$ $$2E = 3V = 4F_4+6F_6$$

Como cada cara aporta sus aristas dos veces; por la fórmula de Euler $V-E+F=2$ que tenemos:

$$ 6V-6E+6F = 12\\ 4E-6E+6F = 12\\ 6F-2E = 12\\ 6( F_4+F_6)-(4F_4+6F_6)=12\\ 2F_4+0F_6 = 12\\ F_4=6 $$

Si se pudiera trazar un gráfico de este tipo, creo que respondería a una pregunta mía:

¿Cuántos vértices necesitas para que todos los cuadrados no estén directamente conectados?