Gavillas de hormigón

Question

En el nLab, dado un local $S$ -topos $E$ una gavilla concreta se define como un objeto que está separado con respecto a los isomorfismos locales (los morfismos que son invertidos por el functor de secciones globales $\Gamma:E\rightarrow S$ ): https://ncatlab.org/nlab/show/concrete+sheaf#in_a_local_topos

Sin embargo, separado significa que estos morfismos sólo se envían a monos y no a isos. Así que no veo por qué una gavilla concreta sería, en particular, una gavilla.

Estoy bastante seguro de haber cometido un error en mi razonamiento, así que me preguntaba si alguien tenía una explicación sencilla.

Answer 1

Para resumir la discusión en los comentarios:

• Hay dos topologías de Grothendieck no triviales que se utilizan en la definición de una gavilla concreta: la topología de Grothendieck T, utilizada para definir gavillas, y la topología de Grothendieck C, utilizada para definir pregavillas concretas.

• La topología de Grothendieck T (y su sitio S) nos son dados.

• La topología C de Grothendieck se define especificando la familia generadora de coberturas de un objeto XS como la familia de todos los mapas 1X, donde 1 es el objeto terminal en el sitio S.

• Los preajustes separados por C son precisamente preajustes concretos sobre S en el sentido habitual.

• En particular, los pretramas T-locales separados por C en S (es decir, tramas T separadas por C) son precisamente tramas concretas en S.

• Una prehoja C-local F (es decir, una hoja C) tiene una forma muy simple: envía un objeto YS al conjunto de mapas Y(*)F(*), donde F(*) denota el conjunto de mapas 1F, donde 1 es el objeto terminal de S.