Demuestre que las derivadas parciales existen en (0,0)

Question

Considere la función $$f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin\left(\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}\right)&\text{if }(x,y)\ne(0,0)\\0&\text{if }(x,y)=(0,0).\end{cases}$$ Demuestre que las derivadas parciales $f_x(0,0)$ y $f_y(0,0)$ existe.

¿Qué es lo que piden aquí?

Answer 1

Quieren que demuestre que $f_x(0,0)$ y $f_y(0,0)$ existe.

En particular $\lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = f_x(0,0)$ y $\lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=f_y(0,0)$ existe.