$1 + {1 \over 3} - {1 \over 2} + {1 \over 5} + {1 \over 7} - {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over 11} - {1 \over 6} + +-...$ condicionalmente convergente

Question

$$1 + {1 \over 3} - {1 \over 2} + {1 \over 5} + {1 \over 7} - {1 \over 4} + {1 \over 9} + {1 \over 11} - {1 \over 6} + +-...$$

Quiero mostrar primero que $S_{3n}$ , $S_{3n+1}$ y $S_{3n+2}$ converge al mismo límite, muestro

$$S_{3n} = (1 + {1 \over 3} - {1 \over 2}) + ({1 \over 5} + {1 \over 7} - {1 \over 4}) + ({1 \over 9} + {1 \over 11} - {1 \over 6}) + ... + ({1 \over 4n-3} + {1 \over 4n-1} - {1 \over 2n})$$

pero, ¿cómo proceder a partir de aquí?

Answer 1

La serie es

$$\sum_{n=1}^\infty\left(\frac1{4n-3}+\frac1{4n-1}-\frac1{2n}\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{8n-3}{2n(4n-1)(4n-3)}$$

y esto es una serie positiva convergente, ya que

$$\frac{8n-3}{2n(4n-1)(4n-3)}\le\frac4{(4n-1)(4n-3)}$$

Answer 2

$$\frac{1}{4n-3}+\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{4n-3}+\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n}-\frac{1}{4n}=\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n-2}+\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$$ así que $$\lim _{n\to \infty}S=\frac{3}{2}\lim _{n\to \infty}\sum _n\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$$ y $$\log (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}..$$ así que $$\log(2)=\log(1+1)=\sum \left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)$$ así que $S=\frac{3}{2}\log (2)$ Espero que le sirva de ayuda

Answer 3

$$|S_{3n+1}-S_{3n}| \leq \frac{1}{n}$$ $$|S_{3n+2}-S_{3n}| \leq \frac{1}{n}$$ Así que si $(S_{3n})$ converge, los tres convergen

No para demostrar que $(S_{3n})$ converge, basta con escribir $\frac{1}{4n-3}+\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{2n}$ sobre el mismo denominador y utilizar una comparación.