Demostrar que $\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$ son independientes $\sigma$ -algebras

Question

Tenemos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ , dejemos que $(A_n)_{n \geq 1}$ sea una secuencia de sub- $\sigma$ -de las álgebras de $\mathcal{A}$ . Consideramos:

$\mathcal{F}:= \sigma \left ( \bigcup_{n even} \mathcal{A}_n\right )$ y $\mathcal{G}:= \sigma \left ( \bigcup_{n odd} \mathcal{A}_n\right )$

Quiero demostrar que $\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$ son independientes.

Para ello quiero utilizar una proposición y comprobarlo:

$\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$ son independientes $\iff \forall F \in \sigma(\mathcal{F}) = \{\emptyset, \mathcal{F}, \mathcal{F}^c, \Omega\}, \forall G \in \sigma(\mathcal{G}) = \{\emptyset, \mathcal{G}, \mathcal{G}^c, \Omega\} \implies \mathbb{P}[F \cap G] = \mathbb{P}[F] \mathbb{P} [G]$ .

Ahora comprobaría para cada combinación que las condiciones se mantienen:

Caso 1: Si ambos $F = G = \emptyset$ entonces la afirmación es obviamente válida ya que por definición $\mathbb{P}[\emptyset] = 0$ .

Caso 2: Si alguno de los dos $F$ ou $G$ es igual al conjunto vacío, la condición se mantiene con el mismo argumento.

Caso 3: Si ambos $F = G = \Omega$ la condición se mantiene de nuevo por un argumento similar.

Ahora los casos más difíciles son los que si tengo que considerar por ejemplo:

$F = \mathcal{F}$ y $G = \mathcal{G}$ . ¿Cómo puedo proceder aquí?

Answer 1

Demostremos que $\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$ son independientes $\sigma$ -algebras.

Para todos $m$ impar, considera $$ H_m = \{ B \in \mathbb A : \forall C \in \mathbb A_m, \mathbb P (B \cap C) = \mathbb P (B) \mathbb P (C) \} $$

Es fácil ver que $H_m$ es un $\sigma$ -y que $\cup_{\text{n even}} \mathbb A_n \subseteq H_m$ . Así que tenemos que $\mathcal{F}= \sigma(\cup_{\text{$ n $ even}} \mathbb A_n) \subseteq H_m$ . Esto significa que, para todos los $m$ impar, $$ \forall B \in \mathcal{F}, \forall C \in \mathbb A_m, \mathbb P (B \cap C) = \mathbb P (B) \mathbb P (C)$$ Así que, $$ \forall B \in \mathcal{F}, \forall C \in \bigcup_{\text{$ m $ odd}}\mathbb A_m, \: \mathbb P (B \cap C) = \mathbb P (B) \mathbb P (C) \tag{1}$$

Ahora considere $$ K = \{ D \in \mathbb A : \forall B \in \mathcal{F}, \mathbb P (B \cap D) = \mathbb P (B) \mathbb P (D) \} $$

Es fácil ver que $K$ es un $\sigma$ -y, a partir de $(1)$ tenemos que $\cup_{\text{$ n $ odd}}\mathbb A_n \subseteq K$ . Así que, $\mathcal{G}= \sigma(\cup_{\text{$ n $ odd}} \mathbb A_n) \subseteq K$ . Así que, $$ \forall D\in \mathcal{G} , \forall B \in \mathcal{F}, \mathbb P (B \cap D) = \mathbb P (B) \mathbb P (D)$$ Esto significa que $\mathcal{F}$ y $\mathcal{G}$ son independientes $\sigma$ -algebras.