Encuentra todos los enteros tales que $2n-1 | n^3 +1$

Question

Intento

$$2n-1| n^3 +1$$ $$\therefore 2n11 | 2n^3 + 2 -n^2(2n-1)$$ $$\therefore 2n-1| 4n-2$$

Pero esto es válido para todos $n$ . ¿Cómo proceder? Gracias de antemano

y lo siento si esto es un duplicado, no veo ninguna pregunta similar

Answer 1

Mod $(2n-1)$ , tienes que $2n\equiv1$ . Supongamos ahora que $(2n-1)$ divide $n^3+1$ . Así que siempre mod $(2n-1)$ :

$$ \begin{align} n^3&\equiv-1\\ 8n^3&\equiv-8\\ (2n)^3&\equiv-8\\ (1)^3&\equiv-8\\ 1&\equiv-8\\ 9&\equiv0 \end{align} $$

Así que $2n-1$ debe dividir $9$ . Eso no deja demasiadas opciones para comprobar. (Asegúrate de mirar los divisores positivos y negativos de $9$ .)

Answer 2

Una pista. Si $(2n-1)\mid(n^3+1)$ Entonces, al menos $(2n-1)\mid8(n^3+1)$ . Por lo tanto, $$\frac{8(n^3+1)}{2n-1}=(4n^2+2n+1)+\frac9{2n-1}$$ es un número entero. Por lo tanto, $(2n-1)\mid 9$ . ¿Puedes terminarlo ahora?

Answer 3

Problema. Encuentra todos los enteros $n$ tal que $2n - 1\, |\, n^3 + 1$ .

Sol. Dejemos que $(a, b)$ denotan el máximo común divisor (gcd) de $a$ y $b$ . Entonces $$\begin{array}{lll} (2n - 1, n^3 + 1) &= (2n - 1, n^3 + 2n) \\ &= (2n - 1, n^2 + 2) \mbox{ since } (2n - 1, n) = 1 \\ &= (2n - 1, n^2 + 2 + 4n - 2) = (2n - 1, n(n + 4)) \\ &= (2n - 1, n + 4) \mbox{ since } (2n - 1, n) = 1 \\ &= (2n - 1 - 2(n + 4), n + 4) = (-9, n + 4). \end{array}$$ Desde $2n - 1\, |\, n^3 + 1$ , $2n - 1\, |\, 9$ . Así que, $n$ puede ser $-4, -1, 0, 1, 2, 5$ .

Answer 4

$$ 2n-1\mid (2n-1)(4n^2+2n+1) = 8n^3-1$$

et $$2n-1\mid 8n^3+8$$ así que $$2n-1\mid (8n^3+8) - (8n^3-1)=9$$