Dos ecuaciones diofánticas con muchas incógnitas

Question

¿Es posible (tractable) determinar si el siguiente sistema de ecuaciones tiene alguna solución no trivial (es decir, ninguna de las incógnitas es cero) en el dominio de los números enteros?

$$A^2 + B^2=C^2 D^2$$ $$2 C^4 + 2 D^4 = E^2 + F^2$$

Answer 1

Para el segundo, toma $C > D > 0,$ entonces $$ E = C^2 - D^2, \; \; \; F = C^2 + D^2 $$

Si quieres un sistema, toma cualquier $C,D \equiv 1 \pmod 4$ primos distintos, como $5,13.$ Obtenemos el triple pitagórico $16^2 + 63^2 = 65^2 = 5^2 13^2.$ Entonces $2 \cdot 5^4 + 2 \cdot 13^4 = (13^2 - 5^2)^2 + (13^2 + 5^2)^2 = 144^2 + 194^2.$

Answer 2

Para resolver,

$$A^2+B^2=C^2 D^2\\ (2C)^4+(2D)^4=E^2+F^2$$

Elige,

$$\begin{aligned} A&=2(ac-bd)(ad+bc)\\ B&=(ac-bd)^2-(ad+bc)^2\\ C&=a^2+b^2\\ D&=c^2+d^2\\ E&=(a^2+b^2 )^2-(c^2+d^2 )^2\\ F&=(a^2+b^2 )^2+(c^2+d^2 )^2\\ \end{aligned}$$