Un puzzle/pregunta sobre azulejos

Question

Mi profesor nos dio un acertijo que dice así:

Usted tiene un $7\times 7$ cuadrado y $16$ $3\times 1$ azulejos. De los $16$ azulejos, $15$ son rectos y $1$ tiene forma de "L". Al embaldosar el cuadrado con estas baldosas se debe conseguir que quede una unidad sin embaldosar (porque $7 \times 7=49$ y $16\times (3\times1)=48$ ).

La pregunta es ¿en qué lugares puede estar la plaza sin embaldosar?

Ten en cuenta que puedes rotar las piezas.

Nunca he visto este tipo de preguntas antes, así que no estoy seguro de cómo resolver algo así. He intentado comprobar algunas posiciones y parece que la baldosa en forma de "L" no se puede colocar en las esquinas, pero no sé cómo continuar...

Cualquier ayuda será apreciada porque esto me está volviendo loco. Gracias.

Answer 1

Creo que este colorido funciona. Colorea cada fila 0 1 2 0 1 2 0 (así la 1ª columna es toda 0, la 2ª es toda 1, etc.). Esto te da 21 ceros, 14 unos, 14 doses. Una ficha recta cubre tres iguales (si es vertical) o uno de cada (si es horizontal). Si decimos que cubre $a$ ceros, $b$ y $c$ dos, entonces en cualquier caso $a\equiv b\equiv c$ módulo 3. Se deduce que los cuatro espacios que quedan después de colocar las 15 fichas rectas son 4 0 0 (es decir, 4 ceros, ningún uno, ningún dos), o 2 1 1 o 0 2 2. Ahora la L tiene que cubrir alguna permutación de 2 1 0, y el cuadrado descubierto tiene que ser alguna permutación de 1 0 0. Algunos de estos funcionan, por ejemplo, 2 1 0 más 0 0 1 da 2 1 1. Pero no hay manera de añadir 1 0 0 a cualquier permutación de 2 1 0 para obtener cualquiera de 4 0 0, 2 1 1, o 0 2 2, por lo que el cuadrado descubierto no puede ser un cero, es decir, no puede estar en la primera, cuarta o séptima columna.

Aplicando la transposición, tampoco puede estar en la 1ª, 4ª o 7ª fila. Eso deja sólo 12 lugares donde puede estar. Por simetrías del cuadrado, estos 12 lugares son de sólo tres tipos, por lo que si usted puede encontrar un mosaico dejando cada uno de estos tres tipos al descubierto, ya está. Ross ha encontrado un mosaico que deja lo que yo llamaría $(2,2)$ descubierto; ahora queda por hacer $(2,3)$ y $(3,3)$ .

Answer 2

Aquí tienes una disposición básica 4×4 de 4 fichas rectas y una torcida:

| | r--
| | | |
| | X |
----- |

Divide el cuadrado de 7×7 en cuatro bloques de tamaño 4×4, 4×3, 3×4 y 3×3. Los tres últimos se pueden embaldosar fácilmente con 11 baldosas rectas. Las rotaciones de la disposición anterior en el bloque de 4×4 dan como resultado cuatro posiciones posibles diferentes del agujero. Gracias a la respuesta de Gerry Myerson, éstas son las únicas posiciones posibles, hasta la rotación de todo el cuadrado.

Answer 3

Esto se escribió en respuesta a la antigua versión de la pregunta, que preguntaba dónde podía ir la L y remarcaba que no podía ir en una esquina. La coloración sigue siendo válida para la nueva sobre dónde va el 1x1. Como señala Rahul Narain, una primera línea de ataque es colorear. Si se numeran las columnas $0$ a $6$ y las filas $0-6$ también puedes poner un número en cada cuadrado sumando la fila y la columna módulo $3$ . Es como colorear un tablero de ajedrez con tres colores. Tienes que $17$ cuadrados marcados $0$ y $16$ con $1$ y $2$ . Cada tromino recto cubre un cuadrado de cada número, pero la L puede que no. Si la L cubre dos $1$ células o $2$ células estás hundido. Esto tiene que ser cierto para una colocación dada sin importar cómo gires o reflejes los números. Esto te impide poner la esquina de la L en una esquina, pero no te impide poner un extremo en una esquina, y hay una solución:

ABBBCCC
AADDDXE
FFFGGGE
HHHIIIE
JJJKKKL
MMMNNNL
OOOPPPL

donde la X es el cuadrado vacío.

Una solución completa mostraría qué otras posiciones están permitidas y cómo son posibles.