Teorema de existencia y unicidad en una situación en la que la derivada y no tiene límites

Question

Soy nuevo en Ecuaciones Diferenciales y estoy atascado en lo siguiente:

Encuentra dos soluciones diferentes al problema de valor inicial $$y'=x^2~(y-1)^{1/3}~,\qquad y(0)=1$$ y explicar por qué no hay contradicción con el Teorema de la Existencia y la Unicidad.

He conseguido encontrar las dos soluciones con relativa facilidad:

$$y_1=1+\frac{2\sqrt2}{27}x^{\frac{9}{2}}~~,\qquad ~~ y_2=1-\frac{2\sqrt2}{27}x^{\frac{9}{2}}$$ Sin embargo, estoy atascado en la segunda parte de la pregunta. Me he dado cuenta de que las derivadas según $y$ en $x=0$ son indefinidos, pero no estoy seguro de que eso sea un argumento válido para decir que no se cumplen las condiciones regulares del Teorema de Existencia y Unicidad.

Se agradecería mucho cualquier idea al respecto.

Gracias

Answer 1

$\frac{f(x,y)-f(x,1)}{y-1}=x^{2}(y-1)^{\frac{-2}{3}}$ , $y \ne 1$ que no tiene límites en ningún rectángulo $|x| \le a$ , $|y-1| \le b$ donde a y b son números reales finitos no negativos. Por lo tanto, la condición de Lipschitz no se satisface.