Velocidad con respecto al tiempo en la Ley de Torricelli

Question

Tengo un poco de dificultad para establecer la velocidad de eflujo de un tanque abierto de agua en términos de tiempo, es decir $u(t)$ según la ley de Torricelli. Sé que para una altura conocida $h$ (donde $h = H - c$ y $H$ es la posición vertical de la superficie del nivel de agua en el depósito, mientras que $c$ es la posición vertical del agujero en el tanque), la velocidad $u = \sqrt{2gh}$ .

Sin embargo, como $h$ disminuye con el tiempo, $u$ no es constante y tiene una forma parabólica decreciente sobre $t$ . Entonces, ¿cuál es la fórmula correcta para $u(t)$ ?

He intentado seguir la explicación aquí (Ecuación 14), pero esto no tiene sentido, porque es una simple línea recta. Una solución más realista es aquí que dice que desde $u(t) = \sqrt{2gh(t)}$ sólo tenemos que encontrar la tasa de cambio de $h(t)$ y conéctalo. En la respuesta $h(t)$ parece definirse como $h(t) = [\sqrt{h_0} - \frac{A}{a_t} \sqrt{\frac{g}{2}t} ]^2$ , donde $h_0$ es el valor inicial $h$ , $A$ es el área del agujero en el tanque, mientras que $a_t$ es el área de la superficie del agua en el tanque.

Pero cuando lo introduje en la fórmula anterior para $u(t)$ y traté de trazarlo, no obtuve la forma parabólica que esperaba. La tasa de cambio parece comenzar a descender con la curva esperada, pero hacia el final, cuando el tanque presumiblemente se acerca al vacío, la línea parece convertirse en una recta. Luego vuelve a reflejarse hacia arriba casi como una línea recta. Puedes verlo representado aquí%5E2)%20)&eqn2_color=2&eqn2_eqn=&eqn3_color=3&eqn3_eqn=&eqn4_color=4&eqn4_eqn=&eqn5_color=5&eqn5_eqn=&eqn6_color=6&eqn6_eqn=&x_min=-100&x_max=2000&y_min=-5&y_max=50&x_tick=100&y_tick=10&x_label_freq=1&y_label_freq=1&do_grid=0&do_grid=1&bold_labeled_lines=0&bold_labeled_lines=1&line_width=2&image_w=850&image_h=525) para $h_0 = 20$ , $A = 1$ y $a_t = 10$ .

Sin embargo, si recuerdo bien, sólo debería continuar la parábola (obviamente, físicamente esto no sucede). A menos que me equivoque en lo que espero, esto no parece correcto.

¿Cuál es la fórmula correcta para $u(t)$ dada una altura $h$ ? ¿Qué me falta?

Answer 1

Sé que para una altura conocida h (donde $h=H−c$ y H es la posición vertical de la superficie del nivel de agua en el depósito, mientras que $c$ es la posición vertical del agujero en el tanque), la velocidad $u = \sqrt{2gh}$

La velocidad $u$ es en realidad una aproximación,

La relación correcta, (que puedes derivar fácilmente usando Bernouilli y la ecuación de continuidad) es:

$u$ = $\sqrt{2gh\big(\dfrac{A_1^{2}}{{A_1}^{2}-{A_2}^{2}}\big)}$

donde $A_1$ es el área de la superficie abierta y $A_2$ es el área del agujero.

En los casos ideales $A_1<<<$ $A_2$ por lo que lo anterior se simplifica a $u =\sqrt{2gh}$

Ahora, pasando a tu problema sobre la velocidad en función del tiempo.

Como ya sabemos $u(t)$ necesitamos $h(t)$ y luego conectarlo.

Por lo tanto, considerando que el área de la superficie abierta es $A_1$ y la del agujero a ser $A_2$ La altura del cilindro debe ser $H$ (desde abajo) y la altura en el momento de la hormiga $t=t$ para ser $h$ (desde abajo) y aproximando $A_2<<<$ $A_1$ podemos empezar.

Por ecuación de continuidad para un fluido no compresible,

$$A_1v_1 = A_2v_2$$ ( $v_1$ siendo la velocidad a la que baja el nivel del agua, o digamos $h$ disminuye y $v_2$ siendo la velocidad de eflujo).

Así que, $$A_1 \big(\frac{-dh}{dt}\big)= A_2(\sqrt{2gh})$$

Que es,

$$\frac{-dh}{\sqrt{2gh}} = \big(\frac{A_2}{A_1}\big)dt$$

Y la integración con límites adecuados,

$$\int_H^h \frac{-dh}{\sqrt{2gh}} = \int_0^t \big(\frac{A_2}{A_1}\big)dt$$

Por lo tanto, obtenemos,

$$\frac{-1}{\sqrt{2g}}[2\sqrt{h}-2\sqrt{H}] = \frac{A_2}{A_1}t$$

Que al simplificar es

$$\big(\sqrt{H} - \sqrt{\frac{g}{2}}\big(\frac{A_1}{A_2}\big)t\big)^{2} = h$$

Así que,

$$h(t) = \frac{{A_2}^2 gt^{2}}{2{A_1}^{2}} - \frac{\sqrt{2gH}(A_2 t)}{A_1}+H$$

Por lo tanto, tenemos la relación para $h(t)$ y $u(h)$ para que podamos obtener $u(t)$ como:

$$ u(t) = \sqrt{2g \big(\sqrt{H} - \sqrt{\frac{g}{2}}\big(\frac{A_1}{A_2}\big)t\big)^{2}}$$

A ver si tiene sentido para ti.

¡Salud!

Answer 2

Sin embargo, como h es decreciente en el tiempo, u no es constante y tiene una forma parabólica decreciente en t.

¿Por qué cree que el $u(t)$ debe tener una forma parabólica decreciente en el tiempo. Estoy asumiendo que quieres encontrar $u(t)$ .

La forma correcta de hacerlo es ver que $u(t) = \sqrt{2gh(t)}$ y encontrar $h(t)$ utilizando el hecho de que sale del pozo de agua.

Dejemos que $A_b$ sea el área de la base del cilindro y $A_h$ ser el área del agujero. Sea $u(t)$ sea la velocidad del agua que sale del agujero. Tenemos, $$ \frac{dV}{dt} = -u A_h$$ donde $V = A_b H$ .

Ahora, $\frac{dH}{dt} = \frac{dh}{dt}$ desde $H = h + c$ y c es sólo una constante.

Así que,

$$A_b \frac{dh}{dt} = -u A_h$$ Utilizando nuestra ecuación original para $u(t)$ nos encontramos con que,

$$\frac{A_b u }{g} \frac{du}{dt} = - u A_h$$ Así que finalmente $u(t)$ se convierte en una función lineal del tiempo.

$$ u(t) - u(0) = - \frac{A_h g t}{A_b}$$

Esta fórmula cuando se utiliza para encontrar $h(t)$ da

$$h(t)=\sqrt{h_0−\frac{A_h}{A_b}\sqrt{\frac{gt^2}{2}}}$$ .

Mientras que $$u(t) = \sqrt{2gh(t)}$$ Si queremos recuperarlo, el procedimiento sería encontrar $t$ en términos de $u(t)$ y sustituirla por la expresión de $h(t)$ respetando el hecho de que $u(0) = \sqrt{2gh_0}$ .