Tiempo previsto para la fuga de n presos independientes

Question

Supongamos que hay $n$ presos, y cada día cada preso tiene independientemente una probabilidad $p$ de escapar. ¿Cuál es el tiempo esperado antes de que todos los prisioneros se hayan escapado?

Alguien me hizo esta pregunta hace un tiempo, y pensé que sería relativamente sencillo, pero hasta ahora me ha costado encontrar una solución.

Mis primeras aproximaciones han sido con el establecimiento de recurrencias, pero no he podido llegar a algo solucionable (al menos por los métodos que conozco). También me dijeron que había muchas formas de resolver el problema, así que ver otros enfoques sería interesante.

Answer 1

Dejemos que $Y$ el tiempo hasta que todos hayan escapado. Entonces $$E(Y)=\sum_{i=1}^\infty \Pr(Y\ge i).$$ Así pues, calculemos $\Pr(Y\ge i)$ .

Esto es $1$ menos la probabilidad de que $Y\le i-1$ .

La probabilidad de que un determinado preso se haya ido en el momento $i-1$ o antes es $1$ menos la probabilidad de que no se haya ido, es decir, $1-(1-p)^{i-1}$ . De ello se desprende que $$E(Y)=\sum_{i=1}^\infty \left[1-\left(1-(1-p)^{i-1}\right)^n\right].$$

Podemos expandir utilizando el Teorema del Binomio, y sumar las diversas series geométricas infinitas relacionadas. Así que terminamos con una suma de $n$ términos. Esa suma puede tener una forma cerrada agradable.