¿Cómo sé que un generador de grupo es realmente de ese grupo?

Question

He hecho la pregunta aquí pero en realidad no estoy tan satisfecho con una respuesta.

Tengo 3 generadores que son (al menos por lo que leo en cada artículo que encuentro) generadores de $SL(2,\mathbb{R})$ grupo. Pero ¿cómo sé que ellos (los $\tilde{J}_i$ ) son efectivamente generadores de $SL(2,\mathbb{R})$ ?

Seguro que se puede considerar un cambio de base (aunque no he podido comprobar el $M T_i M^{-1}=\tilde{T}_i$ regla con unas matrices dadas, ni siquiera estoy seguro de que eso sea posible, ya que por un lado tengo $2\times 2$ y en el otro una $4\times 1$ matriz (vector)).

Pero en general. ¿Cómo sé que un determinado generador es realmente un generador de un grupo específico? Porque, si satisface las reglas del álgebra de Lie, eso sólo significa que forma un álgebra de Lie, no lo que es ese álgebra.

Answer 1

Vale, me ha costado un poco reordenar todos mis términos para que sea lo más obvio, pero aquí muestro que las dos álgebras tienen la misma estructura de Lie

Sus álgebras de Lie son en el fondo un espacio vectorial y el $X,Y,Z$ matrices para una base del espacio vectorial. Sabemos que podemos seguir adelante y formar una nueva base para el espacio vectorial por medio de combinaciones lineales de esta base y la que sugiero que transfiramos es $$J_0 = Y - Z, \qquad J_1 = X, \qquad J_2 = Y + Z$$ Sigue siendo el mismo álgebra de Lie ya que dejamos que el soporte de Lie sea como antes y encontramos que los soportes de estas matrices base son

$$[J_0, J_1] = [Y - Z, X] = -2Z - 2Y = -2J_2$$

$$[J_0, J_2] = [Y - Z, Y + Z] = 2X = 2J_1$$

$$[J_1, J_2] = [X, Y + Z] = 2Y - 2Z = 2J_0$$ De lo cual comparamos fácilmente con el $\tilde{J}_i$ -corchetes y comprobar que la estructura es precisamente la misma. El mapa lineal $f$ que mapea matrices a operadores diferenciales según $$f : J_i \to \tilde{J_i}$$ podría usarse para formar un homorfismo de álgebra de Lie entre estas formas de $\mathfrak{sl}(2)$ por lo que comprobamos que efectivamente son el mismo álgebra.

(Esta es la primera prueba que he realizado de este tipo y todavía soy bastante nuevo en este campo, así que por favor, compruebe si hay errores)