Estabilidad hacia atrás de QR frente a SVD

Question

He estado leyendo el libro de Trefethen y Bau sobre Álgebra Lineal Numérica, y tienen una pregunta cuya respuesta no tiene mucho sentido para mí. En particular, implican que el algoritmo SVD (el cálculo del SVD, no la solución de $Ax = b$ por SVD) no es estable hacia atrás. La sugerencia es que esto tiene que ver con el hecho de que SVD mapea desde un $m\times n$ en el espacio de triples de $m\times m$ , $m\times n$ y $n\times n$ para $U$ , $\Sigma$ y $V$ . En relación con el cálculo del producto exterior, comentan que, dado que éste también pasa de un espacio de menor dimensión a otro mayor, no cabe esperar que el cálculo sea estable hacia atrás. Al mismo tiempo, la triangularización de Householder ( $QR$ ), es estable hacia atrás, pero esto también mapea desde un espacio dimensional más pequeño a un espacio dimensional más grande. ¿Es Householder sólo un caso excepcional, o hay algo más?

Answer 1

Obsérvese que hay restricciones en las matrices de salida. En la factorización QR, Q(una matriz ortogonal) tiene dimensión $\frac{n(n-1)}{2}$ R(matriz triangular superior) tiene dimensión $\frac{n(n+1)}{2}$ la dimensión total es $n^2$ la dimensión de las matrices de n por n.