Radio de convergencia de $\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{z^4}{4} - \frac{\pi}{7})^k$

Question

Tengo la serie de potencia compleja $\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{z^4}{4} - \frac{\pi}{7})^k$ .

Mediante manipulación algebraica obtengo $\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{4})^k(z^4 - \frac{4}{7}\pi)^k$ . Ahora sostengo que se trata de una serie de potencia en torno a $\frac{4}{7}\pi$ con radio de convergencia R = 4, utilizando la prueba de la raíz de euler, afirmando todo el tiempo que la potencia 4 en el argumento z no afecta a esas dos cantidades. Sin embargo, no estoy seguro de cómo probar o incluso mostrar heurísticamente esa última parte. De hecho, ni siquiera estoy seguro de estar en lo cierto al afirmar que la potencia no importa, es más bien una corazonada. ¿Alguien sabe cómo manejar este escenario?

Answer 1

Una pista: Se trata de una serie geométrica $$\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty\left(\frac{z^4}{4}-\frac{\pi}{7}\right)^k =\frac{1}{1-\left(\frac{z^4}{\pi}-\frac{\pi}{7}\right)}-1 \end{align*}$$

convergiendo para $\left|\frac{z^4}{4}-\frac{\pi}{7}\right|<1$

Answer 2

La serie de este problema no es una serie de potencias, por lo que el concepto de "radio de convergencia" no es realmente aplicable. Debido a los resultados básicos de las series geométricas, la serie converge si $|z^4/4 - \pi/7|<1.$ El conjunto de tales $z$ no es un disco, así que ¿qué significa "radio"? Este conjunto parece realmente complicado.

Answer 3

Poner $t=z^4$ por lo que la serie es $\sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{4^k}(t-t_0)^k$ donde $t_0=\dfrac{4\pi}{7}$

Entonces el radio de convergencia $R=\lim \sup \dfrac{a_k}{a_{k+1}}=4$ donde $a_k=\dfrac{1}{4^k}$

Por lo tanto, la serie converge $\forall t$ tal que $|t|<4\implies |z|^4<4\implies |z|<\sqrt 2$

Nota El radio de convergencia de una serie de potencias permanece inalterable si se cambia el punto sobre el que se da la serie. $t_0$ no tiene ningún papel que desempeñar. Se necesita sólo cuando se necesita el círculo de convergencia que no es necesario aquí

Por tanto, el radio de convergencia es $\sqrt 2$