Ejercicio Hartshorne III.4.7 (cohomología de subesquemas cerrados en $\mathbb{P}^2$ )

Question

Tengo algunas preguntas sobre el siguiente ejercicio de Hartshorne (III.4.7):

Dejemos que $f \in k[x_0,x_1,x_2]$ sea un polinomio homogéneo de grado $d \geq 1$ y $f \neq 0$ y que $X$ sea el subesquema cerrado de $\mathbb{P}^2_k$ definido por $f$ . Entonces $\dim H^0(X,\mathcal{O}_X) = 1, \dim H^1(X,\mathcal{O}_X) = (d-1)(d-2)/2$ . Esto se hace utilizando la cohomología de Cech.

1 - Hartshorne hace la suposición $f(1,0,0) \neq 0$ . ¿Es esto necesario?

Esto implica que $f$ es mónico en $x_0$ y da una descripción muy bonita del complejo de Cech (si es necesario, añadiré esto), que hace posible el cálculo. ¿Pero qué pasa con el caso general?

No es difícil ver que $f$ es mapeado por un isomorfismo graduado de $k[x_0,x_1,x_2]$ a un polinomio, que no desaparece en $(1,0,0)$ si y sólo si $f$ no desaparece en $k^3$ . Por lo tanto, si $k$ es infinito, has terminado. Pero ¿qué pasa cuando $k$ es finito? Por ejemplo

$f = xy \prod_{\alpha \in k} (x - \alpha y)$

es un polinomio homogéneo no trivial de grado $|k|+2$ y se desvanece en $k^2$ (y por lo tanto en $k^3$ ).

2 - ¿Es importante el caso finito para algunas aplicaciones (por ejemplo, en la geometría aritmética)?

3 - ¿Es sorprendente que la cohomología sólo dependa de $d$ ?

Answer 1

Puedes calcular la cohomología a través de la resolución de Koszul. Si $i:X \to {\mathbb P}^2_k$ es la incrustación, entonces el triple $0 \to O_{{\mathbb P}^{2}}(-d) \stackrel{f}\to O_{{\mathbb P}^2} \to i_*O_X \to 0$ es exacta. Por lo tanto, se puede calcular $H^t(X,O_X) = H^t({\mathbb P}^2_k,i_*O_X)$ utilizando la secuencia exacta larga asociada a este triple.