Determinar si una función es una métrica

Question

Me han hecho la siguiente pregunta en uno de mis exámenes. No estoy seguro de cómo hacerla.

Considere el plano $X = \Bbb R^2$ . Para cada una de las dos siguientes funciones de funciones de distancia, determine si hacen $X$ un espacio métrico.

• $d({\bf x},{\bf y}) = 3$ si $x_1$ no es igual a $y_1$ o $x_2$ no es igual a $y_2$ (o ambos), y $d({\bf x},{\bf y}) = 0$ de lo contrario.
• $d({\bf x},{\bf y}) = 3$ si $x_1$ no es igual a $y_1$ y $x_2$ no es igual a $y_2$ (o ambos), y $d({\bf x},{\bf y}) = 0$ de lo contrario.
• $d({\bf x},{\bf y}) = ( |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|)^{1/2}$

Por favor, guíenme en cómo resolver esto.

Answer 1

Pistas:

• ¿Conoce la métrica discreta?
• ¿Cuál es la distancia de los puntos $x=(0,0)$ y $y=(0,1)$ ?
• Lo único que hay que comprobar es la desigualdad del triángulo. Obsérvese que $\delta(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ define una métrica. Observemos ahora que la función $\phi(x)=\sqrt x$ es creciente y satisface $\phi(x+y)\leq\phi(x)+\phi(y)$ para todos $x,y\geq0$ . ¿Puedes demostrar ahora la desigualdad del triángulo? (La raíz de una métrica es siempre una métrica; esta construcción de nuevas métricas se conoce como "snowflaking").