¿Si un elemento tiene un inverso único derecho, es inversible?

Question

Supongamos $u$ es un elemento de un anillo con un derecho inversa. Estoy tratando de entender por qué las siguientes son equivalentes.

• $u$ tiene al menos dos inversos
• $u$ es un cero a la izquierda divisor
• $u$ no es una unidad

Si $v$ $w$ son distintos derecho inversa de a$u$,$u(v-w)=0$, pero $v-w\neq 0$, lo $u$ es un cero a la izquierda divisor. También está claro que si $u$ es un cero a la izquierda divisor, no puede ser una unidad (otra cosa podría cancelar $u$ $ub=0$ al ve $b=0$).

Tengo una diablos de un tiempo de ver por qué $u$ no es una unidad implica la $u$ tiene al menos dos inversos. He probado el contrapositivo, pero no veía buen enfoque. Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Si $u$ % inverso derecha sola $v$, entonces $u(1-vu)=u-(uv)u=0$por lo tanto el $u(1-vu+v)=1$% y por singularidad $1-vu+v=v$, tan $1=vu$y $v$ son una inversa izquierda. Por lo tanto, $u$ es una unidad.