Tengo la sensación de que esta propiedad es cierta, pero no encuentro la forma de demostrarlo:
Dejemos que $\gamma: [0,1] \to \mathbb{R}^n$ sea un camino cerrado diferenciable, es decir $\gamma(0) = \gamma(1)$ . Entonces existen dos valores $\lambda_1 \neq \lambda_2 \in [0,1[$ tal que $$ \left<\gamma'(\lambda_1), \gamma(\lambda_2) - \gamma(\lambda_1) \right> \geq 0, $$ y $$ \left<\gamma'(\lambda_2), \gamma(\lambda_1) - \gamma(\lambda_2) \right> \geq 0. $$
Gráficamente esto significa que puedo encontrar dos puntos en mi trayectoria tales que la proyección del vector tangente en estos puntos sobre la línea que une estos dos puntos se enfrentan.
Estaría encantado de discutir cómo se podría enfocar este problema :)
EDITAR: No quería influir en la reflexión de una manera que condujera a un callejón sin salida, pero esta es la forma en que traté de abordar el problema.
Definamos la función $f: [0,1] \to \mathbb{R}$ de la siguiente manera: $$f(\lambda) = \left<\gamma'(\lambda), \gamma(\lambda^{+}) - \gamma(\lambda) \right> + \left<\gamma'(\lambda^{+}), \gamma(\lambda^{+}) - \gamma(\lambda) \right>, $$ con $\lambda^{+}(\lambda) = mod(\lambda + 0.5, 1)$ . Así, por ejemplo $\lambda^{+}(0.25) = 0.75$ y $\lambda^{+}(0.9) = 0.4$ . Obviamente $\lambda^{+}(\lambda^{+}(\lambda)) = \lambda$ .
Tenemos que $f$ es continua y $f(\lambda^{+}) = - f(\lambda)$ . Por lo tanto, se puede encontrar con el Teorema del Valor Intermedio un valor $\lambda_1$ tal que $f(\lambda_1) = 0$ . Si defino y $\lambda_2 = \lambda^+(\lambda_1)$ Esto implica que $$ \left<\gamma'(\lambda_1), \gamma(\lambda_2) - \gamma(\lambda_1) \right> + \left<\gamma'(\lambda_2), \gamma(\lambda_2) - \gamma(\lambda_1) \right> = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \left<\gamma'(\lambda_1), \gamma(\lambda_2) - \gamma(\lambda_1) \right> = \left<\gamma'(\lambda_2), \gamma(\lambda_1) - \gamma(\lambda_2) \right>. $$ Esto significa que puedo encontrar dos puntos en mi curva $\gamma(\lambda_1) $ y $\gamma(\lambda_2)$ tal que la proyección del vector tangente en estos puntos sobre la línea entre estos puntos o bien apuntan el uno hacia el otro, o bien de los demás.
Sin embargo, estoy atascado en la forma de demostrar que la primera debe mantenerse (creo que debe basarse en la intuición y un montón de ejemplos que he probado).
