Utiliza el teorema de Greens para encontrar el trabajo realizado

Question

Utiliza el Teorema de Green para encontrar el trabajo realizado por la fuerza $\mathbf{F}(x,y)=x(x+y)\mathbf{i}+xy^2\mathbf{j}$ al mover una partícula desde el origen a lo largo de la $x$ -eje a $(1,0)$ y luego a lo largo del segmento de línea hasta $(0,1)$ y de vuelta al origen a lo largo de la $y$ -eje.

Así que pude encontrar $\frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y}$ para ser $y^2 -x$ e integré que con respecto a $y$ y $x$ utilizando $y= 1-x$ como mi límite superior y $y=0$ como mi límite inferior, y $0 < x < 1$ para mi $x$ integral. pero salió a $-\frac{7}{36}$ y la respuesta es $-\frac1{12}$ . No estoy seguro de si estoy haciendo algo fundamentalmente mal aquí o si es un error de cálculo. Lo he comprobado dos veces. ¿Cómo lo hago correctamente?

Answer 1

Sí, tienes razón, por el Teorema de Green, debes evaluar $$\int_{x=0}^1\int_{y=0}^{1-x}(y^2-x)dydx=\int_{x=0}^1\left[\frac{y^3}{3}-xy\right]_{y=0}^{1-x}dx=\int_{x=0}^1\left(\frac{(1-x)^3}{3}-x(1-x)\right)dx\\ =\frac{1}{3}\int_{t=0}^1t^3 dt-\int_{x=0}^1 x(1-x)dx.$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

Answer 2

\begin{align}\int_0^1 \int_0^{1-x} (y^2-x) \, dy\, dx &= \int_0^1 \left[ \frac{y^3}{3}-xy \right]_{y=0}^{y=1-x}\, dx \\ &=\int_0^1 \frac{(1-x)^3}{3}-x(1-x) \, dx \\ &= \int_0^1 \frac{(1-x)^3}{3} - x+x^2 \, dx \\ &= \left[ -\frac{(1-x)^4}{12}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^{x=1} \\ &= \left[ -\frac12+\frac13+\frac1{12} \right]\\ &=\left[\frac{-6+4+1}{12} \right]\\ &=-\frac1{12}\end{align}

Tu método parece correcto pero lo más probable es que cometas un error por descuido en alguna parte.

Answer 3

$$\int_{y=0}^1\int_{x=0}^{1-y}(y^2-x)dxdy = \int_{x=0}^1(y^2x-\frac{x^2}{2})|_{0}^{(1-y)}dy$$

Si se amplía se obtiene $$=\frac{1}{2}\int_{y=0}^1(-2y^3+y^2+2y-1)dy$$

$$=\frac{1}{2}\left(\frac{-2y^4}{4}+\frac{y^3}{3}+\frac{2y^2}{2}-y\right)|_{0}^{1}$$

$$=-\frac{1}{12}$$