Mostrar $f([0, 1])$ tiene medida cero

Question

Se nos da que $f: \mathbb R \to \mathbb R^m$ donde $m > 1$ es continuamente diferenciable una vez.

Queremos demostrar que $f(\mathbb R)$ tiene medida cero.

Lo que hice:

Observe que $\mathbb R = \cup_{n \in \mathbb Z}[n, n+1]$ Así que $f(\mathbb R) = f(\cup_{n \in \mathbb Z}[n, n+1]) = \cup_{n \in \mathbb Z} f([n, n+1])$

Se trata de una unión contable, por lo que si demostramos que $f([n, n+1])$ tiene medida cero, podemos deducir que $f(\mathbb R)$ tiene medida cero.

Sin pérdida de generalidad, podemos demostrar que $f([0, 1])$ tiene medida cero.

¿Pero cómo lo hacemos? No sabemos nada sobre $f$ otra entonces es continua con derivadas continuas. No sabemos qué $f([0, 1])$ es o cómo cubrirlo con cubos arbitrariamente pequeños.

Answer 1

Existe $L$ tal que $f:[0,1]\to\mathbb R^m$ es $L$ -Lipschitz en la norma sup, es decir $$||f(x)-f(y)||_\infty=\max_i|f(x)_i-f(y)_i|\leq L|x-y|.$$ Esto significa que la imagen de un intervalo $[a-r,a+r]$ está contenido en el conjunto $\{x\mid \|x-f(a)\|_\infty\leq Lr\}$ que tiene como máximo la medida $(2Lr)^m:$

$$\mu(f([a-r,a+r])) \leq (2Lr)^m$$

donde $\mu$ es la medida exterior de Lebesgue (o incluso sólo la medida exterior de Jordan). Por lo tanto, para cualquier $n\geq 1,$ ajuste $r=1/2n,$

$$\mu(f([0,1]))=\mu(f([0,1/n]\cup [1/n,2/n] \cup \cdots \cup [(n-1)/n,1])) \leq n(L/n)^m = L^mn^{1-m}.$$ Tomando $n\to\infty$ da $\mu(f[0,1])=0.$