Cómo resolver $p^n+12^2=m^2$

Question

Encontrar todos los triples $(m,n,p) \in \mathbb{N}^3$ con $p$ prime que satisfacen $$p^n+12^2=m^2$$

Answer 1

Lo he reescrito como $$p^n = (m+12)(m-12)$$ Entonces existe $\ 0 \le a \le n\ $ tal que $\ p^a=m-12$ . De ello se desprende que $p^n = p^a (p^a+24)$ y luego $$p^a(p^{n-2a}-1)= 24 = 2^3 \cdot 3$$ Tenemos los siguientes casos:

1. $\; p^a=1$ y luego $a=0$ y $p^n=25$ , lo que da como resultado $p=5$ , $n=2$ y $m=13$
2. $\; p^a=2^3$ y luego $p=2$ , $a=3$ , $n=8$ y $m=20$
3. $\; p^a=3$ y luego $p=3$ , $a=1$ , $n=4$ y $m=15$

Así, todas las soluciones son $(13,2,5)$ , $(20,8,2)$ y $(15,4,3)$ .