Dadas $BA$, encontrar $AB$.

Question

Caso $A, B$ $4\times 3, 3\times 4$ matrices reales, respectivamente,

$$BA=\begin{bmatrix} -9 & -20 & -35 \\ 2 & 5 & 7 \\ 2 & 4 &8 \end{bmatrix}$$

$$AB=\begin{bmatrix} -14 & 0 & -15&-32 \\ 2x-9 & 1 & 3x-9&4x-19\\ 2 & 0 & 3&4\\6&0&6&14 \end{bmatrix}$$

¿Qué es $x$?

Trato de alguna manera, por ejemplo, $\det AB=0$, pero no funcionó

Answer 1

Sugerencia. Mediante la aplicación de fila y la columna de operaciones en $AB$, nos encontramos con que si $$ P=\pmatrix{2&0&2&4\\ -1-2x&1&-3x y-1-4x\\ 2&0&3&4\\ 6&0&6&14}, \ P^{-1}=\pmatrix{\tfrac92&0&-1&-1\\ 3&1&x-1&\tfrac{-1}2\\ -1&0&1&0\\ \tfrac{-3}2&0&0&\tfrac12}, $$ entonces $$ (PA)(PA^{-1}) = \pmatrix{0&0&0&0\\ 0&1&x&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&2}.\la etiqueta{1} $$ Deje $PA=\pmatrix{a^T\\ A_1}$ $BP^{-1}=\pmatrix{b&B_1}$ donde$a,b\in\mathbb{R}^3$$A_1,B_1\in M_3(\mathbb{R})$. Desde $BA$ es invertible, debemos tener $\operatorname{rank}(PA)=\operatorname{rank}(BP^{-1})=3$ (żpor qué?). Por lo tanto sostienen que $a=b=0$$A_1B_1=\pmatrix{1&x&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2}$. Sin embargo, $A_1B_1$ es similar a $B_1A_1$, e $B_1A_1=BA$ es diagonalisable (ejercicio). De ahí sólo hay un valor posible de $x$, que es ...

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P. S. Un par de viable $A,B$ está dado por $$ A = \pmatrix{0&-1&0\\ 0&-1&\tfrac12\\ -2&-3&-7\\ 1&2&\tfrac72}, \ B = \pmatrix{-57&-7&-66&-141\\ 14&0&15&32\\ 10&2&12&26}. $$

Answer 2

Para cualquier matriz cuadrada a $S$, nos vamos a denotar su mínima polinomio por $m_S$ e indicar su polinomio característico por $p_S$.

Hechos:

1. Una matriz cuadrada es diagonalizable ( $\Bbb C$ ) iff su mínima polinomio no tiene raíces múltiples.
2. Si $S$ es diagonalizable matriz cuadrada de orden $n$ e si $\lambda$ es un autovalor de a $S$ con multiplicidad $k$, entonces el rango de a$\lambda I_n-S$$n-k$.
3. Deje $A$ $B$ ser matrices de tamaño $m\times n$ $n\times m$ respectivamente. Si $q(BA)=0$ para algunos polinomio $q$,$AB\cdot q(AB)=A\cdot q(BA)\cdot B=0$.
4. Por otra parte, si $m\ge n$ adicionalmente, a continuación,$p_{AB}(\lambda)=\lambda^{m-n}p_{BA}(\lambda)$.

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En su pregunta, como implícitamente se muestra en la user1551 la respuesta, $$m_{BA}(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2),\quad p_{BA}(\lambda)=(\lambda-1)^2(\lambda-2).$$ Luego de 3. y 4. (y el hecho de que los autovalores son raíces del polinomio mínimo) sabemos $$m_{AB}(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-2),\quad p_{AB}(\lambda)=\lambda(\lambda-1)^2(\lambda-2).$$ Luego de 1. y 2. sabemos $AB$ es diagonalizable, y el rango de $I_4-AB$$2$.

Como resultado, el factor determinante de cualquier $3\times 3$ submatriz de a$I_4-AB$$0$, lo que implica que $x=0$.