Duda de prueba - Fórmula de elasticidad de escala (microeconomía)

Question

Mi profesor presentó dos conceptos de elasticidad en mi última clase de microeconomía:

Elasticidad del producto: $\mu_i=\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}\frac{x_i}{f(x)}$

Elasticidad de la escala: $\mu(x)=\frac{d\ln(f(tx))}{d\ln t}\Bigr\rvert_{t = 1}$

Además, nos pidió que probáramos que $\mu(x)=\sum_{i=1}^n\mu_i$

He encontrado esta demostración en Internet, pero no la entiendo bien:

$$\mu(x)=\frac{d\ln(f(tx))}{d\ln t}\Bigr\rvert_{t = 1}=\frac{\sum_{i=1}^n f_i(x)x_i}{f(x)}=\sum_{i=1}^n\mu_i$$

Si alguien pudiera ayudarme con los pasos de esta prueba, se lo agradecería mucho.

Muchas gracias.

Answer 1

Supongo que $f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable. $x$ es un vector en $\mathbb{R}^n$ . Entonces utilizamos primero la regla de la cadena.

$$\begin{align} \mu(x)&=\frac{\mathrm{d}\ln(f(tx))}{\mathrm{d}\ln t}=\frac{\mathrm{d}\ln(f(tx))}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d}\ln t} \end{align}$$

Para el segundo término utilizamos el hecho de que $\frac{dx}{df(x)}=\frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}$ si todas las expresiones están bien definidas. El primer término es una derivada direccional que se evalúa como un producto escalar del gradiente de $f$ y $x$ :

$$\begin{align} =\nabla_x\ln(f(tx))\cdot x \frac 1{\frac 1t}= \sum_{i=1}^n \frac{\partial \ln(f(tx))}{\partial x_i} x_i \cdot t = \sum_{i=1}^n \frac 1{f(tx)}\frac{\partial f(tx)}{\partial x_i} x_i \cdot t \end{align}$$

Entonces sólo hay que evaluar la expresión en $t=1$ :

$$\begin{align} =\sum_{i=1}^n \frac {x_i}{f(x)}\frac{\partial f(x)}{\partial x_i}=\sum_{i=1}^n \mu_i \end{align}$$

Nota bene: Creo que su profesor quiere indicar la derivada parcial por $f_i$ .