Si $P\in\mathcal{L}(H,H)$ con $H$ un espacio de Hilbert, tal que $P = P^*$ Es posible demostrar que $P^2 = P$ ?
Si eso es posible, entonces $P$ es un operador de proyección, ¿verdad?
Gracias de antemano.
Respuesta
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Un operador $P$ satisfaciendo $P = P^{\ast}$ se llama autoadjunto . Hay muchos operadores autoadjuntos que no satisfacen $P^2 = P$ ; por ejemplo, $P = 2I$ , como se mencionó próximamente.
Un operador $P$ satisfaciendo $P = P^2$ se llama proyección . No todas las proyecciones son autoadjuntas, como por ejemplo $\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ .
Un operador que satisface ambas cosas se llama proyección ortogonal.
