La integral de la función exponencial y la función de Bessel modificada

Question

Todo el mundo, tengo una integral de la función exponencial y la función de Bessel modificada para calcular, de la siguiente manera

$Q=\int\limits_0^\infty {z\exp \left( { - a{z^2}} \right){I_0}\left( {bz} \right)} dz$ ,

donde ${I_0}\left( \right)$ es la función de Bessel modificada de primer orden; $a > 0$ , $b > 0$ son constantes.

Gracias.

Answer 1

En general, $~\displaystyle\int_0^\infty z^{2k-1}~e^{-az^2}~I_0(bz)~dz~=~\frac{\Gamma(k)}{2~a^k}\cdot L_{-k}\bigg(\frac{b^2}{4a}\bigg),~$ donde $a,b,k>0$ y L es un Polinomio de Laguerre . Para $k=1\iff2k-1=1$ esto se convierte en $\dfrac{\exp\bigg(\dfrac{b^2}{4a}\bigg)}{2~a}~,~$ y para $k=\dfrac12$ $\iff2k-1=0$ tenemos $\sqrt{\dfrac\pi a}\cdot\dfrac{\exp\bigg(\dfrac{b^2}{8a}\bigg)}2\cdot I_0\bigg(\dfrac{b^2}{8a}\bigg)$ . Utilizando estos dos últimos resultados, podemos evaluar la integral para todos los valores naturales de $2k-1$ , por diferenciando con respecto a a bajo el signo integral .