Derivadas parciales, derivadas direccionales y diferenciabilidad de una función

Question

Estoy estudiando la función $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ tal que:

$$f(x,y) = \begin{cases} y & \text{if } x=0 \\ x^2+x^2\sin(\frac{1}{x}) & \text{if } x\neq 0 \end{cases}$$

Cómo encontrar las derivadas parciales y las derivadas direccionales en $(0,0)$ ? ¿Existen?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Las derivadas parciales se encuentran de la forma habitual: la derivada parial con respecto a $y$ en $(0,0)$ es $$\frac{\partial f}{\partial y}\Biggm|_{(x,y)=(0,0)} = \lim_{y\to 0}\frac{f(0,y) - f(0,0)}{y-0} = \lim_{y\to 0}\frac{y-0}{y-0} = 1.$$ Mientras que la derivada parcial con respecto a $x$ en $(0,0)$ es: $$\frac{\partial f}{\partial x}\Biggm|_{(x,y)=(0,0)} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{x^2+x^2\sin(1/x) - 0}{x-0} = \lim_{x\to 0}\left(x+x\sin\frac{1}{x}\right)=0.$$

Añadido. Se me había pasado la parte de la "derivada direccional".

Las derivadas direccionales son similares: dejemos $\mathbf{u}=(a,b)$ sea un vector unitario. Entonces por definición tenemos que $$D_{\mathbf{u}}f(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(ha,hb) - f(0,0)}{h}.$$ Si $a=0$ , usted está mirando el parcial con respecto a $y$ que ya hemos calculado. Si $a\neq 0$ , entonces se obtiene $$D_{\mathbf{u}}f(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left(h^2a^2 + h^2a^2\sin(1/h^2a^2)\right) = \lim_{h\to 0}\left(ha^2 + ha^2\sin(1/h^2a^2)\right)=0.$$