Encontrar todos los vectores $w$ tal que el conjunto $\{u, v, w\}$ de vectores abarca $\mathbb C^3$ .

Question

Consideremos los vectores

$v = (i,i,i)$

$w = (1,2,3)$

Encontrar todos los vectores $w$ tal que el conjunto $\{u, v, w\}$ de vectores abarca $\mathbb C^3$

Cómo puedo solucionar esto, ya lo he intentado durante un par de horas, sin suerte para encontrar la respuesta.

Answer 1

Denotamos $w$ por $w=(r,s,t)$ . El conjunto $\{v,u,w\}$ abarca $ \mathbb C^3$ $ \iff$

$ \det\begin{bmatrix} i & i & -i \\ 1 & 2 & 3 \\ r & s & t \end{bmatrix}\ne 0$ .

Demuestre que esto es equivalente a $t-r-2s \ne 0$ .

Answer 2

Es el conjunto de todos los vectores $w\in\mathbb{C}^3$ que son no una combinación lineal de $u$ y $v$ es decir, los vactores que no pueden escribirse como $(a+bi,2a+bi,3a+bi)$ para algunos $a$ y algunos $b$ en $\mathbb C$ .

Answer 3

Una forma lineal de encontrar para el conjunto $\{v,u,w\}$ que abarca $C^3$ :

$$ (w + v + u) \vec x = \vec 0$$

por el teorema 4 de L 1.4, entonces usa Ax = 0. Y por definición de independiente lineal en L 1.7 sólo debe tener solución trivial, $\vec x = \vec 0 $ . Por cierto, esto es lo mismo que el determinante. Luego se utiliza la reducción bruta para obtener REF.

entonces tiene lo mismo que $ A \neq \vec 0$ , donde $A = w + v + u$ . Resuelve esto y obtén $t + r - 2s \neq 0 $ por lo que la solución por el teorema 4 en L 1.4 es: $$t \neq 2s -r$$

Que es la misma solución que con el determinante, que se escribiría así, para facilitar los cálculos:

$$ \det\begin{bmatrix} r & i & 1 \\ s & i & 2 \\ t & i & 3 \end{bmatrix}\ne 0$$ .