Si el homomorfismo de un grupo $G$ está determinada de forma única por los valores de su subconjunto $A$ es $G$ generado por $A$ ?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $A\subset G$ . Para cada grupo $H$ y cada dos homomofismos $\phi_1:G\to H$ , $\phi_2:G\to H$ , si $\phi_1\upharpoonright A=\phi_2\upharpoonright A$ entonces $\phi_1=\phi_2$ . ¿Es necesario que $G$ debe ser generado por $A$ es decir $G=\langle A\rangle$ ?

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Sí; tenga en cuenta que la incrustación $\iota\colon \langle A\rangle\hookrightarrow G$ es un epimorfismo en la categoría de grupos: para dos homomorfismos de grupo cualesquiera $f,g\colon G\to H$ a un grupo arbitrario $H$ , $f\circ \iota = g\circ\iota \implies f=g$ . Es decir, $\iota$ es cancelable por la derecha.

Pero en $\mathbf{Group}$ la categoría de todos los grupos (y también en $\mathbf{FinGroup}$ la categoría de todos los grupos finitos), los epimorfismos son subjetivos . Así, $\iota$ es suryente, por lo que $\langle A\rangle = G$ .

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Si se restringe la clase de grupos que se está estudiando, esto ya no es necesariamente así. Por ejemplo, en la variedad generada por $A_5$ , $\mathbf{HSP}(A_5)$ que consiste en todos los grupos que son imágenes homomórficas de subgrupos de (posiblemente infinitas) copias de $A_5$ la incrustación $A_4\hookrightarrow A_5$ es un epimorfismo no subjetivo; y más generalmente, $A_n\hookrightarrow A_{n+1}$ es un epimorfismo no subjetivo en $\mathbf{HSP}(A_{n+1})$ y en $\mathbf{HSP}(S_{n+1})$ .

Pero Peter Neumann demostró que en cualquier clase cociente-cerrada de grupos solubles, todo epimorfismo es suryectivo; y Susan McKay generalizó el resultado a una familia más amplia de clases cociente-cerradas de grupos solubles.