¿Cómo encontrar las raíces de $f(z)=(a+yg(z))^2+g(z)^2=0$?

Question

Quiero encontrar las raíces de $$f(z)=\left[a+zg(z)\right]^2+g(z)^2=0$$

Donde $a$ es un número real y: $$ g(z)=\frac{1}{2\sqrt{z^2+1}}\ln\left(\frac{z+\sqrt{z^2+1}}{z-\sqrt{z^2+1}}\right) $$

Se dijo que el $f(z)=0$ tiene dos raíces complejas al $a\in(-\pi/2,\pi/2)$, sin complejos de raíz al $a>\pi/2$ y cuatro raíces complejas al $a<-\pi/2$.

Asimismo, dijo que el complejo raíces son imaginarios puros, y vienen en conjugar pares. El artículo es publicado en una conocida revista, aquí está el link, consulte la página 3.

Lo que he intentado es que expanda f(z) alrededor de $z=0$, me sale: $$ f(z)=(a^2-\frac{\pi^2}{4}) +i\pi(a+1)z +(1+2a)z^2+O(z^3) $$

El término constante es $a^2-\pi^2/4$, hace de este término constante de dar la anterior afirmación? No sé.

Mi pregunta es: 1). cómo determinar el número de raíces complejas de diferente valor de $a$? 2).Si es posible, se pueden expresar las raíces como una función de la $a$? 3).Si es muy difícil expresar analíticamente, podría dar una idea de cómo puedo encontrar a todos ellos numéricamente?

Answer 1

No es difícil, aunque numéricamente, para mostrar todas las características mencionadas en esta pregunta. Debido a que las raíces vienen en pares de números imaginarios puros, supongo que es factible para mostrar las características analíticamente así. El primer paso es derivar $$ a=\frac{\pm\mathrm{i}-z}{2\sqrt{z^2+1}}\ln\left(\frac{z+\sqrt{z^2+1}}{z-\sqrt{z^2+1}}\right). $$ Entonces, aquí va de las parcelas (de ojo de pájaro-vista y vista lateral) de la parte real de la RHS (cuando la parte imaginaria es lo suficientemente pequeño) para $+\mathrm{i}$$-\mathrm{i}$. Ellos son simétricas w.r.t. $x$-eje y $+\mathrm{i}$ $-\mathrm{i}$ parcelas son reflexiones w.r.t. $y$-eje como a los demás. Las dos primeras parcelas de ilustrar la imaginariness. Una combinación de los dos últimos explica la raíz de las propiedades de los números. $+\mathrm{i}$ $-\mathrm{i}$ de los casos junto rendimiento el número de raíces. Y se observa un pico, una zanja de poca profundidad y una profunda zanja.
El pico: $0<a<\pi/2$ raíces
La zanja de poca profundidad: $-\pi/2<a<0$ raíces
La zanja poco profunda y la más profunda zanja: $a<-\pi/2$ raíces
Tenga en cuenta que la transición de 2 raíces a las 4 raíces consiste en el evidente paso a paso el comportamiento del pico hasta la más profunda fosa.

Por favor, siéntase libre de modificar y elaborar!

Answer 2

Esta no es la intención de ser un canónica de la respuesta, sino más bien una guía de discusion

Deje $q=\sinh z$, podemos obtener: $$ \frac{1}{2}(\frac{a}{q+\frac{\pi}{2}}+\frac{q+\frac{\pi}{2}i}{a}) + \tanh q=0 $$

Imaginemos $q$ es puramente imaginario, vamos $q=i(t-\pi/2), t\in \mathcal{R}$, $z=\sinh q=i\sin(t-\pi/2)=-i\cos t$.

Entonces obtenemos la siguiente ecuación para $t$:

$$ \frac{1}{2}(\frac{t}{a}-\frac{a}{t})=\cuna t $$

Nota: en esta ecuación, si $t_0$ es una solución, entonces se $-t_0$ también es una solución, pero esto no nos dan un valor distinto de $z$.

Usando mathematica, podemos trazar la izquierda y el lado derecho de la ecuación anterior, podemos ver que hay muchas intersecciones, para casi cada valor real de $a\neq0$.

Answer 3

Continuando desde aquí: $$ \frac{1}{2}(\frac{a}{q+\frac{\pi}{2}}+\frac{q+\frac{\pi}{2}i}{a}) + \tanh q=0 $$ El poder de la serie representación de arctanhes $$ arctanh(q)=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\dots $$ El uso que de aproximación, se puede resolver con el método de Cardano para resolver la ecuación de cuarto grado, o con métodos numéricos (por ejemplo, Newton-Raphson): $$ \frac{-1}{2}(\frac{a}{q+\frac{\pi}{2}}+\frac{q+\frac{\pi}{2}i}{a}) = \tanh q $$ $$ arctanh(\frac{-1}{2}(\frac{a}{q+\frac{\pi}{2}}+\frac{q+\frac{\pi}{2}i}{a})) = p $$