Esferas unitarias, isotopías y homotopías

Question

Estoy luchando con el siguiente problema.

Dejemos que $f:S^{2}\to\mathbf{R}^{3}$ sea la incrustación de la esfera unitaria, y sea $E$ sea el elipsoide $E=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}~:~4x^{2}+9y^{2}+z^{2}=1\}$ . Parametrice $E$ por un mapa $g:S^{2}\to\mathbf{R}^{3}$ y demostrar que $g$ es isotópico a $f$ . Entonces demuestre que cualquier mapa $f:S^{1}\to S^{n}$ es homotópico a un mapa constante $g:S^{1}\to S^{n}$ .

Para la primera parte, no estoy muy seguro de cuál debe ser la parametrización. Estaba pensando que tal vez $g(x,y,z)=(2x,3y,z)$ pero no estoy seguro de que esto esté bien definido. Además, sé que una isotopía en un colector $M$ es un mapa suave $\Phi:[0,1]\times M\to M$ tal que $\Phi_{t}:M\to M$ es un difeomorfismo para cada $t\in[0,1]$ . Sin embargo, no estoy seguro de que mi mapa $g$ debería ser.

Para la segunda parte, sé que una homotopía entre $f:S^{1}\to S^{n}$ y $g:S^{1}\to S^{n}$ es un mapa continuo $H:S^{1}\times[0,1]\to S^{n}$ tal que $H(x,0)=f(x)$ y $H(x,1)=g(x)$ para todos $x\in S^{1}$ . Creo que la homotopía requerida podría tener algo que ver con la proyección estereográfica, pero eso es todo lo que se me ocurre.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

En ambos casos, la homotopía de la línea recta es tu amiga. ¿Ves por qué la proyección estereográfica funciona en este contexto?

EDIT: La isotopía de $\mathbb{R}^3$ que lleva $S^2$ al elipsoide es la homotopía de línea recta entre ambos. Este elipsoide es una compresión de la esfera en dos direcciones por cantidades diferentes - cada punto original puede ver a dónde va con una línea recta y ninguna de estas líneas se cruzan. Esta es la idea detrás de la isotopía.

$$f_t(x,y,z)=t(1/2x,1/3y,z)+(1-t)(x,y,z)$$

En el momento $t=0$ , $f_0$ es el mapa de identidad en $\mathbb{R}^3$ . En el momento $t=1$ , $f_1$ es el mapa que se extiende en el $x$ y $y$ direcciones. Esta es esencialmente la solución.

Para el segundo problema, demostrar que dos mapas son homotópico tenemos que construir un mapa como el de arriba, excepto que no estamos requiriendo que las cosas no pueden pasar a través de sí mismos. Y, de hecho, estamos tratando de demostrar que algo es homotópico a un mapa constante por lo que definitivamente tendremos aplastamiento en alguna parte. Proyectar estereográficamente la imagen de $f:S^1\to S^n$ en $R^n$ eligiendo cuidadosamente el punto de punción. Utiliza la homotopía de línea recta como en el caso anterior, pero conecta todo a un solo punto. Al retroceder por el mapa de proyección inversa, se obtiene la homotopía en $S^n$ .

Answer 2

Para la segunda parte:

Al principio, supongamos que existe un punto $x\in S^n$ tal que $x\not\in f(S^1)$ . Así, la imagen de $f$ está contenida en $\left(S^n \setminus x\right)$ , que es contraíble. Por lo tanto $f$ es nulo-homotópico.

En general, es posible que $f(S^1) = S^n$ (ver: Curva de llenado del espacio ). Sin embargo, se puede demostrar que $f$ es homotópico a $\hat{f}$ tal que $\hat{f}(S^1) \subset \left(S^n \setminus x\right)$ para algunos $x\in S^n$ . Principalmente, para algunos $x\in S^n$ y $\epsilon > 0$ tomar una pelota $B(x,\epsilon) \subset S^n$ y para cada pieza de la curva $f(S^1)$ en el interior del balón lo sustituye por un arco que se sitúa en el límite del balón. Deberías poder demostrar que $\hat{f}$ construido de esta manera sigue siendo homotópico a $f$ . Como la homotopía es una relación transitiva, se puede utilizar el razonamiento del primer caso para demostrar que $f$ es homotópico a un mapa constante.