¿Cualquier anillo de orden primo es conmutativo?

Question

¿Es cualquier anillo de orden primo conmutativo?

Answer 1

No sólo es cierto que cualquier anillo de orden primo $p$ (es decir, el número de elementos es $p$ ) es conmutativo, es más, hay exactamente dos anillos no isomorfos, uno es el anillo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ con estructura de anillo habitual, y la otra es $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +, \times)$ donde $+$ es la suma habitual y $a \times b = 0, \forall a, b, \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}.$

Dejemos que $R$ sea un anillo con $p$ número de elementos que no es isomorfo al anillo del segundo tipo como se ha escrito anteriormente. Nótese que como grupo $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +)$ y $(R, +)$ son isomorfas. Sea $\overline{a} \in \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es un generador. Entonces $\overline{a}^2 = n\overline{a},$ para algunos $n \in \mathbb{N}.$ Elija $m \in \mathbb{N}$ tal que $mn \equiv 1 \pmod p.$ Dejemos que $\overline{b} = m\overline{a}.$ Si $\phi : (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, +) \rightarrow (R, +)$ es un isomorfismo de grupo, entonces define un mapa $\psi: \mathbb{Z/p\mathbb{Z}} \rightarrow R$ por $\overline{x} \mapsto x\phi{(\overline{b})}.$ (aquí ambos $\mathbb{Z/p\mathbb{Z}}$ y $R$ se consideran anillos). Ahora se puede comprobar que $\psi$ es un isomorfismo de anillo.