Muestra que 2Z y 3Z no son isomorfos - pregunta sobre la demostración

Question

Necesito mostrar que $ 2\Bbb Z $ y $ 3\Bbb Z $ no son isomorfos.

Encontré una contradicción de la siguiente manera: sea $ p $ este isomorfismo de $ 2\Bbb Z $ a $ 3\Bbb Z $.

Entonces $ p(4) = p(2*2) = p(2+2) $, así que $ p(2)p(2) = p(2)+p(2) $. Dado que $ p(2) $ está en $ 3\Bbb Z $, llamémoslo $ 3k $ donde $ k $ es un entero.

Entonces $ 9k^2 = 6k $ $ k = 2/3 $

Esto es una contradicción porque $ k $ es un entero.

¡Mi confusión aquí es que esto no depende de la biyectividad de $ p $! ¿Dónde falla esto para un homomorfismo?

Answer 1

$9 k^2 = 6 k$ (para el entero $k$) if y solo si $k = 0$. Ahora aquí es el punto donde se usa la biyectividad: si $k = 0$, $p(2) = 0$ entonces $p$ no sería biyectiva.