Muestra que 2Z y 3Z no son isomorfos - pregunta sobre la demostración

Question

Necesito mostrar que $2\Bbb Z$ y $3\Bbb Z$ no son isomorfos.

Encontré una contradicción de la siguiente manera: sea $p$ este isomorfismo de $2\Bbb Z$ a $3\Bbb Z$.

Entonces $p(4) = p(2*2) = p(2+2)$, así que $p(2)p(2) = p(2)+p(2)$. Dado que $p(2)$ está en $3\Bbb Z$, llamémoslo $3k$ donde $k$ es un entero.

Entonces $9k^2 = 6k$ $k = 2/3$

Esto es una contradicción porque $k$ es un entero.

¡Mi confusión aquí es que esto no depende de la biyectividad de $p$! ¿Dónde falla esto para un homomorfismo?

Answer 1

$9 k^2 = 6 k$ (para el entero $k$) if y solo si $k = 0$. Ahora aquí es el punto donde se usa la biyectividad: si $k = 0$, $p(2) = 0$ entonces $p$ no sería biyectiva.