Con $R=\mathbb{Z}$, se obtiene un isomorfismo. Tenga en cuenta que $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\circ)$ es torsionfree abelian: dado $(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ si $a\neq 0$, $n(a,b) = (na,x)$ algunos $x$, lo $n(a,b)=(0,0)$ requiere $n=0$. Si $a=0$,$n(0,b) = (0,nb)$, así que de nuevo $n(0,b)=0$ requiere $n=0$ o $b=0$. (Estoy usando $m(x,y)$ a la media de $(x,y)$ $\circ$-añadido a sí mismo $m$ veces si $m\gt 0$, y el $\circ$-inversa si $m\lt 0$, como es usual para un grupo abelian).
También, $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\circ)$ $2$generado: $(1,0)$ $(0,1)$ sin duda generar: para obtener una arbitraria $(a,b)$$(1,0)$$(0,1)$, solo tome $a(1,0)$, lo que le dará un elemento de la forma $(a,x)$ algunos $x$, y, a continuación, tome $(a,x)\circ(0,b-x)$.
Por lo $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\circ)$ es gratis abelian y $2$generados, por lo tanto, ya sea cíclico o isomorfo a $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$. Moding a cabo por el infinito cíclico normal de los subgrupos $\{(0,b)\mid b\in\mathbb{Z}\}$ tenemos un grupo isomorfo a $\mathbb{Z}$, por lo que el grupo $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},\circ)$ no puede ser infinito cíclico (porque el cociente de un infinito cíclico grupo por un subgrupo no trivial es finito). Por lo tanto, con $R=\mathbb{Z}$ obtiene un isomorfismo.
Más generalmente, si usted tiene un isomorfismo para $R$ y uno para $S$, entonces usted también consigue un isomorfismo para $R\oplus S$, ya que la adición será sólo "coordinar sabio", de modo que usted puede tomar el isomorfismo $f\colon (R\times R,\circ)\to R\oplus R$$g\colon (S\times S,\circ)\to S\oplus S$, y obtener un isomorfismo $f\times g\colon (R\oplus S\times R\oplus S,\circ)\to (R\oplus R)\times (S\oplus S)\cong (R\oplus S)\times (R\oplus S)$.
Esto le dará isomorphisms para todos los anillos de la forma
$$\mathbb{Z}^t \times\frac{\mathbb{Z}}{p_1^{a_1}\mathbb{Z}}\times\cdots\times\frac{\mathbb{Z}}{p_r^{a_r}\mathbb{Z}}$$
donde $p_1,\ldots,p_r$ son primos diferentes de $3$, $a_i\gt 0$, $t,r\geq 0$, y la estructura de anillo es la más obvia.
Añadido. (Así que era tonto). Para los anillos de la característica $3$, se obtiene un isomorfismo si y sólo si $a^3=0$ todos los $a\in R$.
Para ver que esto es necesario, el aviso de que
\begin{align*}
3(a,0) &= (a,0)\circ(a,0)\circ(a,0) = (2a,2a^3)\circ(a,0)\\
&= (3a,2x^3 + 4a^3+2a^3) = (0,8a^3) = (0,-a^3).
\end{align*}
Por lo tanto, $(R\times R,\circ)$ tiene características de las $3$ si y sólo si $a^3=0$ todos los $a$.
Para ver que la condición es suficiente, si $R$ es de carácter $3$ $a^3=0$ todos los $a\in R$, $(R\times R,\circ)$ es un abelian $3$-grupo, por lo tanto, un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_3$. Ya que tiene la misma cardinalidad como $R\oplus R$, que también es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_3$, son isomorfos como $\mathbb{F}_3$-espacios vectoriales, y, por tanto, como abelian grupos.
