Valores propios de la matriz singular especial

Question

Consideremos una matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ con valores propios $\lambda_i$ . Suponemos que $A$ es positiva definida, por lo que $\lambda_i>0$ . Consideremos ahora la matriz

$$B =\lambda I - A,\qquad \lambda \in \lambda_i.$$ Sabemos que $B$ es singular, incluso mejor sabemos que $\lambda_i$ están destinados a ser encontrados por el cálculo para el que $\lambda\ \det(B)=0$ . Denotemos ahora $\mu_i$ sean los valores propios de $B$ . Sabemos que $\mu_1=0$ pero me preguntaba si podemos decir algo sobre el resto de los valores propios de B.

Consideré el siguiente ejemplo:

$$A = \begin{pmatrix}14 & 38 & 26\\ 38 & 110 &94\\ 26 & 94 & 145\end{pmatrix}$$ Con los valores propios $\lambda = [0.1879,\ 36.6743,\ 232.1378]$ . Entonces, si elegimos $B = \lambda_1I-A$ , obtenemos que $$\mu = [0,\ -36.6743,\ -232.1378] = \lambda_1-\lambda.$$

Ahora mi pregunta es si A) la declaración $\mu = \lambda_i -\lambda$ es válida para cualquier matriz $A$ y todos los valores propios $\lambda_i$ y B) si esto sólo es válido para los valores propios $\lambda_i$ o se mantiene para todas las matrices estructuradas como $B = cI-A$ , donde $c$ puede ser cualquier valor escalar y esto es realmente una propiedad conocida.

Answer 1

Supongamos que $\mu$ es un valor propio de $B$ y que $B=c\operatorname{Id}-A$ para alguna matriz $A$ y algún número $c$ . Entonces hay un vector no nulo $v$ tal que $B.v=\mu v$ . Pero $$\begin{align}B.v=\mu v&\iff(c\operatorname{Id}-A).v=\mu v\\&\iff cv-A.v=\mu v\\&\iff A.v=cv-\mu v\\&\iff A.v=(c-\mu)v.\end{align}$$ Por lo tanto, siempre que $\mu$ es un valor propio de $B$ , $c-\mu$ es un valor propio de $A$ . Por el mismo argumento, si $\lambda$ es un valor propio de $A$ , $c-\lambda$ es un valor propio de $B$ . Tenga en cuenta que lo único que necesito para que esto funcione es que $B$ es una matriz cuadrada. Que sea simétrica no es relevante.