Analiticidad de una función

Question

¿Esta definición es redundante? "Una función $f$ se dice que es analítica en $x_0$ si su serie Taylor sobre $x_0$ existe y converge a $f(x)$ para todos $x$ en algún intervalo que contenga $x_0$ ". ¿Falta algo en la siguiente definición? "Una función $f$ se dice que es analítica en $x_0$ si tiene derivados de todos los órdenes en $x_0$ ".

Answer 1

Puedes pensar en la definición de una función analítica (en $x_0$ ) como compuesto por tres partes:

1. Los derivados de $f$ de todos los pedidos en $x_0$ existe. Esto equivale a decir "La serie de Taylor alrededor de $x_0$ existe" (porque para definir la serie de taylor alrededor de $x_0$ , es necesario conocer las derivadas de todas las órdenes en $x = x_0$ ).
2. La serie de Taylor converge. Esto significa que la serie de Taylor tiene un radio de convergencia positivo. Incluso si las deriativas de todos los órdenes en $x = x_0$ existe, esto no significa que la serie de Taylor tenga un radio de convergencia positivo (ver El lema de Borel ).
3. La serie de Taylor converge a $f$ . Incluso si la serie de Taylor tiene un radio de convergencia positivo, podría converger a una función diferente de $f$ como ocurre en los ejemplos proporcionados en las otras respuestas.

Su intento de simplificación sólo capta la primera parte.

Answer 2

La función $\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&x>0\\0 & x\leq0\end{cases}$ tiene derivadas de todo orden en $x_0=0$ pero esta función no es analítica. Si fuera analítica, entonces una serie de potencias convergería a cero idéntico, ya que $f$ es idénticamente cero para $x\leq0$ .

Answer 3

$x\mapsto f(x)=\exp(-1/x^2)$ ampliado a $f(0)=0$ tiene todas sus derivadas iguales a 0 en 0 por lo que no puede ser igual a su propia serie de Taylor en ningún intervalo alrededor de 0.