La prueba original de Quillen (en Álgebra homotópica LNM 43, Springer, 1967) es puramente combinatoria (es decir, no utiliza espacios topológicos): utiliza la teoría de las fibraciones mínimas de Kan, el hecho de que éstas son haces de fibras, así como el hecho de que el espacio clasificador de un grupo simplicial es un complejo de Kan. Esta prueba ha sido reescrita varias veces en la literatura: al final de
S.I. Gelfand y Yu. I. Manin, Métodos de álgebra homológica , Springer, 1996
así como en
A. Joyal y M. Tierney Introducción a la teoría de homotopía simplicial
(Me gusta mucho la reformulación de Joyal y Tierney). Sin embargo, Quillen escribió en sus seminales Lecture Notes que conocía otra prueba de la existencia de la estructura del modelo en los conjuntos simpliciales, utilizando la fórmula de Kan $Ex^\infty$ functor (pero no da más pistas).
Una prueba (de hecho, dos variantes de la misma) utilizando la fórmula de Kan $Ex^\infty$ se da en mi Astérisque 308: lo divertido no es tanto la existencia de la estructura del modelo, sino demostrar que las fibraciones son precisamente las de Kan (y también demostrar todas las buenas propiedades de $Ex^\infty$ sin usar espacios topológicos); para dos pruebas diferentes de este hecho usando $Ex^\infty$ (véase la proposición 2.1.41 y el escolio 2.3.21 para una alternativa). Por lo demás, todo estaba ya en el libro de Gabriel y Zisman, por ejemplo.
Por último, añadiría incluso que, en el artículo original de Quillen, la estructura del modelo sobre espacios topológicos se obtiene por transferencia de la estructura del modelo sobre conjuntos simpliciales. Y esa es, en efecto, una forma bastante natural de proceder.