Estructura de modelos en conjuntos simpliciales sin utilizar espacios topológicos

Question

La categoría de conjuntos simpliciales tiene una estructura modelo estándar, en la que las equivalencias débiles son aquellos mapas cuya realización geométrica es una equivalencia homotópica débil, las cofibraciones son monomorfismos, y las fibraciones son fibraciones de Kan.

Los conjuntos simpliciales son objetos combinatorios, por lo que moralmente su estructura de modelo no debería depender de los espacios topológicos. ¿Existe alguna aproximación a esta estructura de modelo que no utilice el functor de realización geométrica, y que no utilice espacios topológicos?

Answer 1

La prueba original de Quillen (en Álgebra homotópica LNM 43, Springer, 1967) es puramente combinatoria (es decir, no utiliza espacios topológicos): utiliza la teoría de las fibraciones mínimas de Kan, el hecho de que éstas son haces de fibras, así como el hecho de que el espacio clasificador de un grupo simplicial es un complejo de Kan. Esta prueba ha sido reescrita varias veces en la literatura: al final de

S.I. Gelfand y Yu. I. Manin, Métodos de álgebra homológica , Springer, 1996

así como en

A. Joyal y M. Tierney Introducción a la teoría de homotopía simplicial

(Me gusta mucho la reformulación de Joyal y Tierney). Sin embargo, Quillen escribió en sus seminales Lecture Notes que conocía otra prueba de la existencia de la estructura del modelo en los conjuntos simpliciales, utilizando la fórmula de Kan $Ex^\infty$ functor (pero no da más pistas).

Una prueba (de hecho, dos variantes de la misma) utilizando la fórmula de Kan $Ex^\infty$ se da en mi Astérisque 308: lo divertido no es tanto la existencia de la estructura del modelo, sino demostrar que las fibraciones son precisamente las de Kan (y también demostrar todas las buenas propiedades de $Ex^\infty$ sin usar espacios topológicos); para dos pruebas diferentes de este hecho usando $Ex^\infty$ (véase la proposición 2.1.41 y el escolio 2.3.21 para una alternativa). Por lo demás, todo estaba ya en el libro de Gabriel y Zisman, por ejemplo.

Por último, añadiría incluso que, en el artículo original de Quillen, la estructura del modelo sobre espacios topológicos se obtiene por transferencia de la estructura del modelo sobre conjuntos simpliciales. Y esa es, en efecto, una forma bastante natural de proceder.

Answer 2

Denis-Charles Cisinski tiene un hermoso libro titulado La prefabricación como modelo de los tipos de homotopía que proporciona un marco muy potente para construir estructuras modelo sobre categorías de preseaf (y más generalmente sobre topos de Grothendieck), y después de construir este marco, la estructura modelo para conjuntos simpliciales cae literalmente de forma gratuita.

Aquí está el enlace de su página web: enlace .

También demuestra algunas conjeturas no triviales de Grothendieck que son importantes para la teoría de los derivados, entre otras cosas. Rick Jardine publicó un resumen de este libro, que también merece la pena leer.

Nota: El marco de trabajo se construye en su totalidad en el capítulo 1, así que incluso si no quieres leer todo el libro, el primer capítulo es lo que necesitas.

Answer 3

Hay muchas maneras de definir las equivalencias débiles de los conjuntos simpliciales sin referirse a los espacios topológicos.

Un morfismo f es una equivalencia débil de conjuntos simpliciales si y sólo si se cumple una de las siguientes condiciones equivalentes:

• f tiene la propiedad de levantamiento de homotopía correcta con respecto a Sd^i ∂Δ^n → Sd^i Δ^n (permitiendo también subdivisiones para las homotopías).
• Ex^∞(f) tiene la propiedad de levantamiento de homotopía derecha con respecto a ∂Δ^n→Δ^n.
• Ex^∞(f) es una equivalencia homotópica simplicial.
• Ex^∞(f) induce un isomorfismo en π_0 y en todos los grupos de homotopía para cualquier elección de puntos base.
• Ex^∞(f) induce isomorfismos en grupos homotópicos simpliciales.
• Hom(f, A) es una equivalencia homotópica simplicial para todo complejo Kan A.
• El morfismo f es una composición de una cofibración trivial y una fibración trivial, ambas definidas mediante propiedades de elevación.
• La aplicación de la categoría de elementos produce una equivalencia débil de categorías de Thomason. La clase de equivalencias débiles de Thomason forma la más pequeña localizador básico es decir, la clase más pequeña de funtores entre categorías pequeñas que contiene identidades, es cerrada bajo retracciones y la propiedad 2-de-3, contiene todos los funtores A→1 para los que la categoría A tiene un objeto terminal, y está localmente determinada: si u:A→B y w:B→C son funtores, con v=w∘u:A→C, y para cualquier $c∈C$ el functor inducido de las categorías de comas v/c→w/c es una equivalencia débil de Thomason, entonces también lo es u.

Gelfand y Manin Métodos de Álgebra Homológica contiene una construcción incompleta de la estructura del modelo estándar sobre conjuntos simpliciales sin referirse a los espacios topológicos.

Answer 4

Sí. El único que conozco está en un libro de Joyal y Tierney. Hace algún tiempo oí que el libro iba a ser publicado, pero no sé si eso ha sucedido. Hay una versión en el archivo de topología de Hopf:

http://hopf.math.purdue.edu/cgi-bin/generate?/Joyal-Tierney/JT-chap-01

Si te fijas en la primera página, indican lo que buscas como objetivo principal.

Si alguien conoce una versión más reciente, tal vez con más capítulos, que nos lo haga saber.