El dominio de una función para una serie de funciones

Question

Estoy aquí de nuevo tratando de resolver un problema sobre series de funciones. Tengo que estudiar la convergencia puntual y uniforme de la siguiente serie:

$$\sum_{n=1}^\infty n\log(1+\frac{\vert\sin(x)\vert^n}{1+x^n})$$

He intentado estudiar primero la convergencia puntual, pero hay un problema: Necesito encontrar el dominio de las funciones, así que : $1+\frac{\vert\sin(x)\vert^n}{1+x^n}\gt0$ y $1+x^n\neq0$

El problema es que no puedo resolver la primera desigualdad en absoluto y la segunda depende claramente de n. Ni siquiera estoy seguro de si debo resolverlas para encontrar la convergencia puntual.

Ayuda, por favor.

Answer 1

En este caso, no importa que la inecuación dependa de $n$ . Para que la serie esté bien definida, cada término de la suma debe estar bien definido. Eso significa que se necesita $1 + x^n \neq 0 \iff x^n \neq -1$ por cada $n$ . Incluso para $n$ Esto se mantiene siempre y para impar $n$ es válida para $x \neq -1$ . De nuevo, como el término debe estar bien definido para cada $n$ significa $x = -1$ no puede estar en el dominio.

El resto del dominio tiene que ser determinado por la desigualdad.

Para $x > -1$ , $1 + x^n > 0$ trivialmente, por lo que no hay problemas con el dominio allí.

Para $x < -1$ , tenga en cuenta que $1/|1 + x^n|$ y $|\sin(x)^n|$ ambos disminuyen con n, por lo que si su desigualdad se mantiene para $n = 1$ se mantendrá para todos los grandes $n$ también. Así que todo lo que queda por resolver es $1 + |\sin(x)|/(1 + x) > 0 \iff |\sin(x)| < -1 - x$ (señalando que $1 + x < 0$ ). Por lo que sé, esta ecuación sólo puede resolverse numéricamente.

Pero de todos modos, eso restringe completamente el dominio de las funciones. Eso todavía no dice nada sobre la convergencia puntual o uniforme, pero esa no era tu pregunta.