¿Por qué no funciona cuando calculo la derivada de segundo orden?

Question

Dejemos que $y=y(x)$ se determinará mediante la ecuación \begin{align*}\begin{cases} x=t-\sin{t}\\ y=1-\cos{t}.\end{cases} \end{align*} Entiendo la solución: $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dt}\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=-\frac{1}{(1-\cos{t})^2}$$ Pero qué hay de malo en los siguientes cálculos: $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dt^2}{dx^2}=\frac{\cos{t}dt^2}{dt^2}\frac{dt^2}{((1-\cos{t})dt)^2}=\frac{\cos{t}}{(1-\cos{t})^2}$$

Answer 1

Mediante el uso de la regla de la cadena se obtiene $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$ entonces $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}.\qquad(1)$$

Ahora $\frac{d}{dt}\!\!\left(\frac{dy}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\!\!\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}\right)\frac{dx}{dt}=\frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{dy}{dx}\frac{d}{dx}\left(\frac{dx}{dt}\right)\frac{dx}{dt}$ .

Entonces $$\frac{d^2y}{dt^2}= \frac{d^2y}{dx^2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dt^2}.\qquad(2)$$ Así que tras la sustitución de $(1)$ en $(2)$ y resolviendo para $\frac{d^2y}{dx^2}$ obtenemos $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dx}{dt}-\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dy}{dt}}{\left(\frac{dx}{dt}\right)^3},$$ que puede utilizarse para resolver su problema.

Answer 2

¡Buena pregunta! :) Lo que hay que recordar es que la diferenciación es un operador. No es una variable escalar que puede ser lanzada. He aquí un ejemplo:

Como sabes, la definición de la primera derivada sería: $$\frac{dy}{dx} \approx \frac{\Delta( y)}{\Delta x}$$ Sin embargo, no sabemos cuál es el cambio en $y$ es para un cambio determinado en $x$ directamente. Por eso es necesario utilizar una variable común, $t$ . Así que la ecuación se convierte en: $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \approx\frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}$$ Si elegimos exactamente los mismos límites en $t$ para $x$ y $y$ Esta convención es una forma burda de describirla. Lo que en realidad está haciendo es esto: $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{d}{dt}(y)}{\frac{d}{dt}(x)}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$ Cuando se trata de la segunda derivada, la aproximación sería: $$\frac{d^2y}{dx^2}\approx\frac{\Delta\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}{\Delta x}$$ Lo que estamos aproximando es el cambio en pendiente en el mismo intervalo $\Delta x$ . Volviendo a los diferenciales, obtenemos: $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt} (\frac{dy}{dx})}{\frac{d}{dt}(x)}$$ En todos estos casos, los resultados de la diferenciación son en términos de $t$ no $x$ o $y$ , que es parte del problema.