Dejemos que $X_{1}, X_{2}, \ldots$ sea una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, P$ ) tal que $E(X_{n}^{2}) \leq c$ para alguna constante $c$ . Supongamos además que $X_{n}\rightarrow X$ casi seguramente como $n\to\infty$ . Prueba $E(X)$ es finito, y demostrar que $E(X_{n}) \rightarrow E(X)$
No he podido resolver ninguna de las dos partes de este problema (mostrar la finitud y mostrar $E(X_n) = E(X)$ . Tengo alguna idea sobre qué hacer para la segunda parte, como usar el $E(X_n^{2}) \leq c$ y tal vez tratar de utilizar la desigualdad de Chebyshev, pero no he hecho ningún progreso. He escrito la varianza en términos de $E(X)$ y traté de usar Chebyshev y se complicó. La desigualdad de Markov tampoco me lleva a ninguna parte.
Me pregunto si alguien puede ayudarme con este problema por favor
