$\mathbb{E}[Y|X+Y=z]$

Question

Dejemos que $X,Y$ sean variables aleatorias tales que $X\overset{\underset{d}{}}{=}\mathcal{P}\left(\lambda_{1}\right)$ et $Y\overset{\underset{d}{}}{=}\mathcal{P}\left(\lambda_{2}\right)$ . Calcular $\mathbb{E}[Y|X+Y=z]$ , donde $z$ es un número entero no negativo.

Intento:

$X+Y\overset{\underset{d}{}}{=}\mathcal{P}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)$ Así que

\begin{align*} p_{Y|X+Y}(y|z)&=\frac{\mathbb{P}(Y=y)\mathbb{P}(X=z-y)}{\mathbb{P}(X+Y=z)}\\ &=\binom{z}{x}\left ( \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} \right )^{x}\left ( \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} \right )^{z-x}. \end{align*}

Por lo tanto, $Y\mid X+Y\overset{\underset{d}{}}{=}\text{Bin}\left(z,\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right)$ et

$$\mathbb{E}[Y|X+Y=z]=\frac{z\lambda_{2}}{\lambda_{2}+\lambda_{1}},\text{ }\forall z\in\mathbb{N}_{0}.$$

Answer 1

Todo es correcto excepto el error tipográfico: has saltado de una expresión en $y$ a una expresión en $x$ .

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$X+Y\overset{\small d}{=}\mathcal{P}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)$ Así que

\begin{align*} p_{Y|X+Y}(y|z)&=\frac{\mathbb{P}(Y=y)\mathbb{P}(X=z-y)}{\mathbb{P}(X+Y=z)}\\ &=\binom{z}{\color{red}y}\left ( \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} \right )^{\color{red}y}\left ( \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}} \right )^{z-\color{red}y}. \end{align*}

Por lo tanto, $\color{red}{Y\mid }X+Y\color{red}{{=}z}~\overset{\small{d}}{=}~\mathcal{Bin}\left(z,\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right)$ et

$$\mathbb{E}[Y|X+Y=z]=\frac{z\lambda_{2}}{\lambda_{2}+\lambda_{1}},\text{ }\forall z\in\mathbb{N}_{0}.$$