Este es mi primer post, así que no os preocupéis si he cometido algún error. Tampoco soy un matemático, sino un físico experimental.
Básicamente, tengo un problema en el que necesito tomar la media de una función dada por una suma de dos términos, $f(x) = A(x) + B(x)$ y me pregunto si tiene sentido tomar primero la media de cada término y luego sumarlos, $ \left\langle A(x) \right\rangle + \left\langle B(x) \right\rangle$ o si tengo que tomar la media de toda la función, $ \left\langle f(x) \right\rangle$ . Obtengo dos resultados diferentes, así que supongo que uno es correcto y el otro no, pero no entiendo por qué.
El problema es que el $A(x)$ -no converge cuando intento tomar la media aritmética, así que tengo que tomar la media armónica de ese término en su lugar:
$$ f(x) = \Bigl[ \cos^2 \Bigl( \frac{\pi x}{L}-\frac{\pi}{2} \Bigr) \Bigr]^{-1} + B(x)$$
El segundo término, $B(x)$ , puede ser en principio cualquier función, por lo que podría ser que en ciertos casos no pudiera tomar la media aritmética de ese término; sin embargo, en mi caso es simplemente una constante, $B$ :
$$ f(x) = \Bigl[ \cos^2 \Bigl( \frac{\pi x}{L}-\frac{\pi}{2} \Bigr) \Bigr]^{-1} + B$$
Cuando ahora tomo la media aritmética de $f(x)$ Lo entiendo,
$$ \left\langle f \right\rangle = \frac {1}{L^{-1} \int_0^L f^{-1} dx}$$
$$ \left\langle f \right\rangle = \Bigl( \frac{1}{2}-\frac{1}{B} \Bigr)^{-1}$$
Sin embargo, si hubiera tomado la media de cada término y luego los hubiera sumado, $ \left\langle A(x) \right\rangle + \left\langle B(x) \right\rangle$ me lo darán,
$$ \left\langle A(x) \right\rangle + \left\langle B(x) \right\rangle = 2 + B $$
Estoy un poco confundido al respecto. Por lo que entiendo por medios, debería poder hacer ambas cosas y obtener el mismo resultado, ¿no? Entonces, ¿por qué es,
$$ \left\langle f \right\rangle \neq \left\langle A(x) \right\rangle + \left\langle B(x) \right\rangle$$
¿Estoy haciendo algo mal? ¿O es una propiedad de los medios armónicos?
Cualquier ayuda será muy apreciada,
Jason
