Integral de la función de signo de la suma del seno y el coseno

Question

Lo que habría que hacer en el caso de que $x = a \cdot sin(t) + b \cdot cos(t)$ y hay que evaluar la integral $\int\limits_{0}^{\pi} sign(x) dt$ ? En el caso de que no conozca los valores de $a$ et $b$ sólo que son reales y positivas. Entiendo que para el intervalo $[0,\pi/2]$ : $sign(x)=1$ pero para el intervalo $[\pi/2, \pi]$ el $sin()$ es positiva pero el $cos()$ La función es negativa, ¿cómo puedo determinar el signo? Gracias.

Answer 1

Un truco útil es escribir $ a = \sqrt{a^2+b^2} \cos \theta $ et $b = \sqrt{a^2+b^2} \sin \theta $ para algunos $\theta$ a determinar. Esto siempre será posible: piense en las coordenadas polares.

Entonces $$ a \sin t + b \cos t = \sqrt{a^2+b^2} ( \cos \theta \sin t + \sin\theta \cos t) = \sqrt{a^2+b^2} \sin(t + \theta) $$ y la señal ahora queda clara, espero.

Answer 2

El signo es el de

$$\sin\left(x+\phi\right)$$ donde $\phi$ está en el primer cuadrante y $\tan\phi=\dfrac ba$ .

$$0\le x+\phi\le\pi\land 0\le x\le \pi\iff 0\le x\le \pi-\phi$$

y la integral del signo es

$$(\pi-\phi)-\phi.$$