Uso del término "sección normal" en un teorema de María Lucido.

Question

Prop. 3 en este documento (p.135) afirma

Dejemos que $G$ sea un grupo soluble con $\text{diam}\Gamma(G)=4$ . Entonces $l_F(G)\leq 3$ o $l_F(G)=4$ y $G$ tiene una sección normal isomorfa a $H$ .

( $H$ es un grupo definido anteriormente en la página, que creo que es isomorfo a $2O$ .)

Pregunta de terminología: ¿Qué hace exactamente sección normal ¿quieres decir? Creo que una sección de $G$ es un grupo factorial de algún subgrupo de $G$ (o al menos eso es lo que Wikipedia me dice).

A continuación se parafrasea el uso del término en su prueba en la página siguiente:

$\text{Fit}_2(G)/\text{Fit}(G)$ es un grupo cíclico o el producto de un grupo cíclico de orden impar con $Q_{2^n}$ . $\,\,\,\,\,\ldots\,\,\,\,\,$ Si $n=3$ , $G/\text{Fit}_2(G)$ es isomorfo a un subgrupo del producto de un grupo abeliano con $S_3$ . $\,\,\,\,\,\ldots\,\,\,\,\,$ Si $G/\text{Fit}_2(G)$ contiene un subgrupo normal isomorfo a $S_3$ entonces $H$ es una sección normal de $G$ .

Así que creo que esto significa que $H$ es un subgrupo de $G/\text{Fit}(G)$ lo que parece implicar que la sección normal significa un subgrupo de un grupo factorial de $G$ . ¿Es eso cierto?

Answer 1

Habría pensado que una sección normal de un grupo $G$ es un grupo cociente $M/N$ donde $M$ y $N$ son ambos subgrupos normales de $G$ con $N < M$ .

He mirado el documento, y mi interpretación es coherente con lo que allí se demuestra. Creo que el grupo $N$ aquí no es (necesariamente) ${\rm Fit}(G)$ sino la imagen inversa completa en $G$ del subgrupo cíclico normal de orden impar en ${\rm Fit_2}(G)/{\rm Fit}(G)$ . En la situación en la que la longitud de ajuste es de 4, $G/{\rm Fit}_2(G)$ tiene un subgrupo normal isomorfo a $S_3$ y $M$ es la imagen inversa completa en $G$ de ese subgrupo normal.