Dualidad Koszul (exterior/simétrica) para un espacio vectorial de 1 dimensión

Question

El ejemplo más sencillo de la dualidad Koszul (véase la introducción de http://www.ams.org/journals/jams/1996-9-02/S0894-0347-96-00192-0/ )

Dejemos que $V = \mathbb{C}x$ ser un $1$ espacio vectorial dimensional. Entonces el álgebra exterior es $A=\mathbb{C}[x]/(x^2)$ y el álgebra simétrica es $A^! = \mathbb{C}[x]$ . La dualidad de Koszul establece que existe un isomorfismo (donde "mod" significa la categoría de módulos finitamente generados):

$F: D^b(A-mod) \rightarrow D^b(A^!-mod)$

El corazón de la categoría de la izquierda es $A-mod$ ¿qué es la imagen de esto a la derecha? Debería ser posible resolver esto trabajando con el documento anterior, pero hay muchas cosas en ese documento que no entiendo (y este ejemplo de juguete debería ser fácil).

Answer 1

"mod" tiene que significar la categoría de generados finitos clasificado módulos, si no, no hay tal equivalencia.

Hasta los desplazamientos graduales (y el isomorfismo), la categoría $A-\mathsf{mod}$ en su ejemplo sólo tiene dos objetos indecomponibles: el módulo trivial $\mathbb C$ y el módulo proyectivo-inyectivo de longitud dos $A$ . Sea $I$ denota el módulo inyectivo graduado indecomponible cogenerado en grado $0$ Así que $I=A \langle -1 \rangle$ .

El teorema 2.12.5 contiene todo lo necesario para entender el functor $F$ en este ejemplo. Según el teorema 2.12.5, $$F(\mathbb C \langle-n\rangle )=A^! [n] \langle n \rangle$$ y $$F(I \langle-n\rangle)=\mathbb C [n] \langle n \rangle .$$ En conclusión, los objetos indecomponibles en la imagen esencial $F(A-\mathsf{mod})$ son $\{ A^! [n] \langle n \rangle \}_{n \in \mathbb Z}$ y $\{\mathbb C [n] \langle n \rangle \}_{n \in \mathbb Z}$ .

Una secuencia exacta típica $$0 \rightarrow \mathbb C \rightarrow I \rightarrow \mathbb C\langle-1\rangle \rightarrow 0$$ en $A-\mathsf{mod}$ es enviado por $F$ a la secuencia exacta $$0 \rightarrow A^! \rightarrow \mathbb C \rightarrow A^! [1] \langle 1 \rangle \rightarrow 0$$ en $F(A-\mathsf{mod})$ .