Interpretación de propagador de boson gratis básico (acción euclídea)

Question

En la sección 2.3.4 de Di Francesco, Mathieu, Senechal de la Teoría conforme de campos (y me imagino que en muchos otros introductorio discusiones de QFT) se encuentra un sencillo ejemplo de cálculo de un propagador

$$K(x,y) := \langle \varphi(x)\varphi(y)\rangle.$$

En el ejemplo, los campos de $\varphi:\mathbf{R}^2\to \widehat{u}(1)$ son llevados a obedecer a la Euclidiana acción de un libre bosón de masa $m$

$$S = \frac{1}{2}\int d^2x \{\partial_\mu \varphi\partial^\mu\varphi + m^2 \varphi^2\}.$$

[Estoy suponiendo que yo no la colmena de cualquier plumas hablando de los campos como operador de valores de funciones en lugar de operador de valores de las distribuciones. Por $\widehat{u}(1)$ me refiero a los afín Heisenberg álgebra (ver la Teoría conforme de campos sección 14.4.4).]

En particular, los autores calculan

$$K(x,y) = -\frac{1}{2\pi} \ln(\|x-y\|), \quad \textrm{if }\ m=0$$ $$K(x,y) = \frac{1}{2\pi} K_0(m \|x-y\|), \quad \textrm{if }\ m>0$$

donde $K_0$ es una función Bessel modificada.

Me parece que estoy en una pérdida para saber cómo interpretar este resultado.

Por simplicidad, vamos a centrarnos en el caso de $m=0$. Basado en los últimos párrafos de Lubo, la respuesta a esta pregunta, parece $K(x,y) = -\ln(\|x-y\|)/2\pi$ podría ser interpretado de dos maneras:

1) Como algo que "sabe acerca de la correlación de $\varphi(x)$$\varphi(y)$." En este caso podríamos concluir que:

• Al $\|x-y\|<1$, se parece a $\varphi(x)$ $\varphi(y)$ "tienen el mismo signo." (Lo que podría significar en este contexto?)
• Al $\|x-y\|>1$, se parece a $\varphi(x)$ $\varphi(y)$ "tienen signos opuestos." (Ídem)
• Al $\|x-y\|=1$, se parece a $\varphi(x)$ $\varphi(y)$ son independientes el uno del otro. (¿Qué significaría para $\varphi(x)$ no se correlacionan con los $\varphi(y)$ sólo cuando la distancia entre los puntos es de 1?)

2) Como una probabilidad de amplitud para una partícula para ir de $x$$y$. Esta perspectiva no parece aplicar aquí: $K<0$ al $\|x-y\|>1$, y en cualquier caso,$|K|\to\infty$$\|x-y\|\to\infty$. Lo menciono ya que esta es la interpretación Lubo da específicamente en relación a la correlación de los operadores.

Ninguna de estas posibilidades, como tengo entendido, es correcto para mí.

Cualquier ayuda en aclarar mi confusión sería más apreciado. Si es posible ver el anterior propagadores manifiesta en datos concretos (quizás los resultados obtenidos en un laboratorio de la materia condensada?) o de las simulaciones por ordenador (modelo de Ising?)), Creo que sería un tratamiento más satisfactorio, pero que se puede pedir demasiado. No sé.

Answer 1

Este es un punto confuso, pero BebopButUnsteady se presenta en el problema principal. Considere la posibilidad de mayores dimensiones. A continuación, la función de correlación

$ {1\over k^2 + m^2} = \int e^{-\tau(k^2 + m^2)} d\tau$

que es el Schwinger representación, reproducción o de multiplicación de partículas interpretación. Cada una de las $\tau$ contribución a la propagador es la transformada de Fourier de una Gaussiana de anchura $\sqrt{\tau}$, que es la probabilidad de que un paseo aleatorio para ir de x a y en el tiempo $\tau$. Esta interpretación es correcta en todas las dimensiones, y es la "probabilidad de la amplitud para ir de x a y" la interpretación en tiempo real, porque la Schwinger en el tiempo apropiado, el movimiento Browniano ruta integral sigue una mecánica cuántica libre de partículas ruta integral de amplitud.

El Schwinger representación demuestra que la distancia Euclídea G(x) es positiva, y que $G(x)\rightarrow 0$ a los grandes de x, debido a que el paseo aleatorio de distribución de probabilidad es positiva y a largo tiempo gaussianas podridos. Para tiempos cortos, siempre hay una predicción volar en las distancias cortas, que es el mismo que el de ley de potencia de la masa propagador. Para las cuatro dimensiones de masa propagador $1\over2\pi^2 (x-y)^2$.

El golpe es un poco difícil de entender si se piensa en campos con una celosía de acción. Si usted toma los campos a fluctuar con una acción proporcional a:

$S \propto \sum_{\langle x,y\rangle} (\phi(x) -\phi(y))^2$

recuperar el campo libre propagador. Pero, a continuación, $\langle\phi(x)\phi(x)\rangle$ es el valor de $G(0)$, y si usted toma el continuum límite por la elección de la escala de la $\phi$ así como para fijar $G(0)$, se obtiene que no hay correlaciones, debido a la ampliación del inverso del cuadrado de la difuminación de la empuja el continuum $G$ a cero para los pequeños de la celosía espaciamientos.

La manera correcta de tomar el continuum límite es permitir a $G(0)$ a volar como $1\over\epsilon^2$, con una constante de proporcionalidad, que asegura que el libre propagador renormalization constante igual a 1. Luego de obtener una ley de potencia caer propagador con un golpe en puntos coincidentes. Este reescalado simplemente introduce $\epsilon$ factores $S$ a recuperar la costumbre $\nabla^2$ acción. No es ninguna sorpresa.

Pero en dos dimensiones, no es una sorpresa. La dependencia del propagador es logarítmica, por lo que tiene una larga distancia de residuos en la función de correlación que se vea como una constante aditiva en las distancias cortas. Las dos dimensiones de la función de correlación $\langle\phi(x)\phi(y)\rangle$ tiene una dependencia logarítmica en el infrarrojo de la corte, en el radio que el dominio de definir.

2-d de celosía campo libre adquiere un cambio en el valor de la función de correlación en función del tamaño de la de dominio. Para definir la continuidad del límite, usted tiene que reescalar el campo para hacer que el coeficiente de los dos puntos de función 1, y también necesitamos añadir una constante la respuesta a normalizar el límite de la caja que va hasta el infinito. La convención de la escala es como en las dimensiones superiores. La convención para la caja es establecer la función de correlación de cero en una esfera de radio de la unidad. Usted puede hacer que el punto cero en otra parte con otra convención, y esto sólo se suma una constante para el registro de la función de correlación.

Para deshacerse de este molesto de infrarrojos de la sensibilidad, a la gente le gusta tomar la derivada de la escalares. Prefiero tratar con él, porque es real. El real de la función de correlación en un cuadro de celosía agrega de nuevo el infrarrojo de la cantidad de tal manera que empuja a las correlaciones de vuelta a positivo, y la escala, de modo que se obtenga el derecho del vecino más cercano de valor. Estos positiva definida correlaciones son los únicos que tienen una interpretación estadística en términos de la probabilidad de que la partícula caminos. Después de reescalado y la resta, se obtiene una tontería correlaciones, como se dio cuenta.

La matemática de la forma de ver esta historia en CFT de los libros es en la ambigua expresión para el espacio real propagador:

$G(x) = \int {d^2k\over (2\pi)^2} {e^{ikx}\over k^2 + i\epsilon}$

La pequeña x normalización se fija aquí, como usted puede ver, debido a que no hay grandes-k divergencia, no corta distancia problema en la definición de la divergencia, debido a la oscilación exponencial. Pero hay un serio problema en la pequeña k. Si usted hace un k-red para la comprensión de la integral, se obtiene una divergencia proporcional en el registro de la k-espaciado reticular, que es la de infrarrojos problema. Usted tiene que restar de este logaritmo para obtener la respuesta habitual.

Teorías con estas infrarrojos cuestiones que se conoce como "logarítmica de conformación del campo de las teorías". El largo alcance de los problemas son los responsables de la Mermin-Wagner-Coleman teorema.

Answer 2

Puesto que usted está buscando una interpretación de la divergencia, tal vez vale la pena mencionar que esta divergencia logarítmica puede ser pensado como un juguete de modelo para la clase de matemática de los fenómenos que conducen a la reclusión en 4d de Yang-Mills teoría. Las funciones de correlación del campo $\phi$ está bien definido en la UV & IR de corte de las teorías, sino que se bifurca al eliminar los puntos de corte, con lo que no podemos llegar a tener la evaluación de las características observables $\phi \mapsto \phi(x)$ en estos límites. Ya que usted debe ser capaz de construir el espacio de Hilbert de los estados mediante la aplicación de los operadores para el vacío, esto significa que usted no acaba de obtener el espacio de Hilbert que esperaba. En lugar de obtener un espacio de Hilbert hecho de que el vacío mediante la aplicación de productos de campo exponenciales y campo de derivados (posiblemente familiar como el vértice de los operadores de la cadena worldsheet teoría). Esto cambia el espacio de la energía autoestados de una forma bastante drástica.

Una cosa similar sucede con los observables con los no-cero de color cargo en QCD del volumen infinito