¿Demostración de que los espacios métricos son segundos contables?

Question

Los espacios métricos pueden estar dotados de la topología dada por los conjuntos abiertos (que a su vez se definen con la ayuda de bolas abiertas) tales que los espacios métricos son espacios topológicos . Ahora, la definición de segundo contable que tuvimos en nuestra conferencia (donde $(M, \tau)$ será un espacio topológico):

$(M, \tau)$ se llama segundo contable si su topología tiene una base contable.

Ahora, Wikipedia tiene esta discreta frase:

En los espacios segundo-contables -como en los espacios métricos- la compacidad, la compacidad secuencial y la compacidad contable son propiedades equivalentes.

Pregunta : Así que, aparentemente, los espacios métricos son siempre segundo contable Sin embargo, ¿cómo podemos demostrarlo? (Para $M = \mathbb R^n$ está claro, ya que la base está dada por bolas abiertas $B_r(p)$ con radios positivos y racionales $r$ y centros racionales $p$ pero no estoy seguro de cómo va el razonamiento para espacios métricos arbitrarios).

Answer 1

No, es una cuestión de análisis de texto. El texto de Wikipedia podría (o debería) haber dicho: considere las siguientes propiedades para un espacio $X$ :

• $X$ es compacto.
• $X$ es secuencialmente compacto.
• $X$ es contablemente compacto.

Para general espacios estas propiedades son no equivalente (ver también más abajo).

Pero si sabemos que $X$ es (como información extra) segundo contable, son equivalentes.

Y también si sabemos $X$ es metrizable, también son equivalentes.

Así, señala que estas propiedades se hacen equivalentes para dos subclases distintas de espacios, los segundos contables y los metrosexuales.

Lo hace no significa que estas subclases están relacionadas por implicación.

Y por ejemplo $X=\omega_1$ es contablemente compacta y secuencialmente compacta y no compacta (y, por lo tanto, no es ni contable ni metrizable) y $X=[0,1]^{\Bbb R}$ es compacta pero no secuencialmente compacta (y, por tanto, tampoco es contable en segundo lugar ni metrizable). Para todos los espacios compactos hace implican contablemente compacto por definición, por supuesto.

Answer 2

Eso no es cierto; no todos los espacios métricos son segundos contables.

Lo que tienes en cambio, como dice explícitamente la Wikipedia enlazada, es que "Para los espacios métricos, sin embargo, las propiedades de ser segundo contable, separable ... son todas equivalente ."

Ver también Noah's comentario para la interpretación lingüística de su extracto.

Answer 3

Es falso. Tomemos cualquier conjunto incontable $X$ con la métrica discreta $d(x,y) = 1$ para $x \ne y$ , $d(x,x) = 0$ .