Dejemos que $p_a=(x-2)^2(x-7)^4x$ sea el polinomio característico de la matriz $A$ y $(x-2)^2(x-7)x$ el polinomio mínimo. Determinar la matriz $A$ .
Mi trabajo: Sé que la matriz tiene que ser $7x7$ y en su diagonal debe tener dos $2$ , cuatro $7$ y una $0$ Así que..:
\begin{bmatrix}{} 2& & & & & & \\ & 2& & & & &\\ & & 7 & & & &\\ & & & 7 & & &\\ & & & & 7& & \\ & & & & & 7 &\\ & & & & & & 0\\ \end{bmatrix}
No sé cómo seguir, ¿qué información me da el polinomio mínimo?
El polinomio mínimo en este caso te da la información sobre los bloques de Jordan relevantes. Dado que tiene $(x-2)^2$ como factor, debe tener uno $2 \times 2$ El bloque de Jordan asociado al valor propio $2$ (y no dos $1 \times 1$ bloques de Jordania). Para ver por qué, observe que el polinomio mínimo de
$$ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$
es $(x - 2)$ mientras que el polinomio mínimo de
$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$
es $(x - 2)^2$ .
Del mismo modo, como el polinomio mínimo tiene $(x-7)$ como factor, al los bloques de Jordan asociados al valor propio $7$ debe ser $1 \times 1$ . Por lo tanto, $A$ es similar a la matriz
$$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}. $$
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